Lo scopo del corso è fornire agli studenti delle solide conoscenze riguardanti i più importanti aspetti della geometria differenziale, con un'attenzione particolare a quegli strumenti che hanno applicazioni in fisica teorica. In particolare, la/o studente che completa il percorso con successo acquisirà solide conoscenze sugli argomenti seguenti: - varietà lisce; - campi vettoriali, fibrati vettoriali e flussi; - geometria Riemanniana di base; - forme differenziali.
The aim of the course is to provide the students with a solid knowledge of the most important differential geometric tools, with an eye towards their use in all areas of Mathematics, as well as in the application of Mathematics to other fields. In particular, the student who successfully completes the course will acquire a solid knowledge of: - smooth manifolds; - vector bundles, vector fields and flows; - basic Riemannian geometry; - differential forms.
L'esame è orale, con eventualmente uno scritto preliminare. Per aiutare la/o studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati degli esercizi.
The exam consists in an oral part and possibly a prior written part. Home exercises will be assigned to the students who attend the lessons weekly, to help them following the lectures.
Capire e manipolare varietà lisce, campi e fibrati vettoriali, le strutture riemanniane.
To understand and manipulate smooth manifolds, vector fields and bundles, and some Riemannian geometry.
L'esame è orale, con eventualmente uno scritto preliminare. Per aiutare la/o studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati degli esercizi.
The exam consists in an oral part and possibly a prior written part. Home exercises will be assigned to the students who attend the lessons weekly, to help them following the lectures.
La/o studente deve essere in grado di studiare in modo autonomo e risolvere autonomamente degli esercizi impegnativi.
The student must learn independently and solve hard exercises.
L'esame è orale, con eventualmente uno scritto preliminare. Per aiutare la/o studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati degli esercizi.
The exam consists in an oral part and possibly a prior written part. Home exercises will be assigned to the students who attend the lessons weekly, to help them following the lectures.
I corsi di matematica del primo anno, e di analisi del secondo anno.
The 1st year maths courses, and the 2nd year analysis course
Le lezioni saranno frontali. Verranno consegnati degli esercizi da fare a casa.
Lessons will be face to face.
Home exercises will be assigned to attending students.
Varietà lisce. Spazio tangente. Differenziale. Sottovarietà. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Tensori. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilità. Forme differenziali. Differenziale esterno. Integrazione. Teorema di Stokes. Equazioni di Maxwell.
Varietà pseudo-Riemanniane. Connessioni su fibrati. Derivata covariante lungo una curva. Trasporto parallelo. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali. Lunghezza di una curva. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow. Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci. Campi di Jacobi. Teorema di Cartan - Hadamard. Varietà a curvatura costante. Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Equazione di campo di Einstein.
The course covers the basics of differential geometry: smooth manifolds, smooth maps, tangent vectors, vector bundles, tangent and cotangent bundles, tensor bundles, sections of vector bundles, vector fields and differential forms, the flow of a vector field, Lie brackets, orientation, Lie groups.
The second part of the course covers differential forms: integration and external differentiation of differential forms, orientation, Stokes theorem. Maxwell's equations.
The last part covers the basics of Riemannian geometry: connections, covariant derivative, parallel transport, Riemannian metrics, isometries, Levi-Civita connection, geodesics, exponential maps, Riemannian distance, minimizing properties of geodesics, the Riemann and Ricci tensors, sectional curvature. Einstein field equation.
* Note del docente scaricabili dal sito
* Dubrovin, Fomenko, Novikov, Modern Geometry - Methods and Applications
Part I. The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields
* Some notes available on the web page
* Dubrovin, Fomenko, Novikov, Modern Geometry - Methods and Applications
Part I. The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields
Studiare tutto il programma sulle note del corso guardando il registro delle lezioni.
Study the whole program on the curse notes, looking at the website. The exam will be written and oral.
L'esame è orale, con eventualmente uno scritto preliminare. Per aiutare la/o studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati degli esercizi.
The exam consists in an oral part and possibly a prior written part. Home exercises will be assigned to the students who attend the lessons weekly, to help them following the lectures.
http://people.dm.unipi.it/martelli/didattica/fisica/2022/geo_diff.html