Academic year2022/23
CourseCOMPUTER SCIENCE
Code027AA
Credits6
PeriodSemester 2
LanguageItalian
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) |
| CALCOLO NUMERICO | MAT/08 | LEZIONI | 48 | |
Obiettivi di apprendimento
Conoscenze
Apprendimento delle tecniche e degli strumenti per la risoluzione numerica di problemi che scaturiscono nelle applicazioni della matematica. L'enfasi e' posta sull'analisi degli aspetti computazionali, quali il condizionamento dei problemi esaminati, la stabilita' e la complessita' dei metodi proposti. Il corso di laboratorio con l'ausilio dello strumento di calcolo MATLAB introduce lo studente all'analisi sperimentale degli algoritmi e alla validazione dei risultati.
Knowledge
- This is intended to be a first course on numerical analysis. It aims to present modern numerical approaches to classical problems in mathematics whose numerical solutions are essential. The problems that will be touched on include linear systems, eigenvalue problems, nonlinear equations, polynomial approximation and integration.
- In order to learn how to use computational tools in an informed and intelligent way, this course endeavors to explain not only when and how to use various numerical algorithms but also how and why they work. To do this the students will be able to analyse the computational facets of the presented methods, like the conditioning of a problem and the stability and complexity of a solution method. In addition, they will be introduced to the industry-standard programming environment MATLAB throughout the module. Emphasis will be placed on understanding the basic concepts behind the various numerical methods studied, implementing basic numerical methods using the MATLAB structured programming environment, and utilizing more sophisticated numerical methods provided as built-in MATLAB functions.
Modalità di verifica delle conoscenze
L'accertamento e la valutazione delle conoscenze acquisite avverra` mediante prova scritta inerente gli aspetti computazionali ed implementativi dei metodi ilustrati e prova orale incentrata sulla discussione delle proprieta` teoriche di tali metodi.
Assessment criteria of knowledge
Methods:
- Final oral exam concerning theoretical properties of numerical methods
- Final written exam concerning computational and implementative issues of numerical methods
Capacità
Lo studente sara` in grado di illustrare le problematiche computazionali che sorgono nella risoluzione numerica di un problema matematico e nella successiva implementazione del metodo numerico in un ambiente di calcolo scientifico quale MATLAB.
Skills
The student will be able to understand and analyse all computational facets of numerical methods used for solving mathematical problems. The student will be also able to implement these methods by assessing the quality of numerical results.
Modalità di verifica delle capacità
La prova scritta e` finalizzata a valutare la sensibilita` acquisita dallo studente in merito agli aspetti computazionali ed implementativi che sorgono nella risoluzione numerica di problemi matematici mente la prova orale richiede allo studente un'analisi delle proprieta` teoriche dei metodi utilizzati.
Assessment criteria of skills
The final written exam is focused on computational and implementative issues of numerical methods while the final oral exam is concerned with the theoretical results around these methods.
Comportamenti
Lo studente potrà acquisire e/o sviluppare sensibilità alle problematiche computazionali e numeriche che sorgono nella risoluzione di problemi applicativi individuando approcci risolutivi che integrano conoscenze matematiche ed informatiche.
Behaviors
The student will be introduced to the design of composite approaches incorporating tools from computational mathematics and computer science for the solution of applicative problems.
Modalità di verifica dei comportamenti
Durante le sessioni di laboratorio e le lezioni teoriche sono proposti e descritti esercizi che partendo da un problema applicativo ne illustrano la formulazione matematica, la risoluzione numerica e l'algoritmo di calcolo.
Assessment criteria of behaviors
Exercises will be proposed both in laboratory sessions and teaching lectures which starting from an applicative problem describe its mathematical formulation together with its numerical and algorithmic solution.
Prerequisiti (conoscenze iniziali)
Nozioni di base dell' algebra lineare e dell'analisi matematica in una variabile reale.
Prerequisites
Basic knowledge of linear algebra and calculus of one real variable.
Programma (contenuti dell'insegnamento)
- Rappresentazione dei numeri in base, aritmetica di macchina, generazione degli errori. Errore inerente ed algoritmico nel calcolo di una funzione razionale, studio dell'errore algoritmico mediante l'uso di grafi. Gli ambienti MATLAB e Octave.
- Richiami di algebra lineare. Norme vettoriali. Norme matriciali, norma 1,2, ``inf''. Localizzazione degli autovalori di una matrice: il teorema di Gershgorin.
- Risoluzione numerica di sistemi lineari. Condizionamento del problema. Sistemi lineari con matrice triangolare. Matrici elementari di Gauss. Il metodo di fattorizzazione LU. Il metodo di eliminazione di Gauss. Tecniche di pivoting. Metodi iterativi per sistemi lineari: generalita' ed analisi della convergenza. Il metodo di Jacobi e di Gauss--Seidel; condizioni sufficienti per la convergenza.
- Calcolo di autovalori ed autovettori: il metodo delle potenze.
- Risoluzione numerica di equazioni non lineari. Il metodo di bisezione. Metodi di iterazione funzionale: il teorema del punto fisso. Metodo delle tangenti. Polinomi algebrici: condizionamento del calcolo di uno zero semplice, matrice companion.
- Interpolazione polinomiale e quadratura numerica. Esistenza ed unicita`del polinomio di interpolazione. Forma di Lagrange del polinomio di interpolazione. Resto dell'interpolazione polinomiale. Quadratura numerica. Generalita' sulle formule di Newton--Cotes. Formula dei trapezi composta: analisi del resto dell'integrazione.
Syllabus
- Error analysis: round--off errors and computer arithmetic. Conditioning of mathematical problems. Algorithms: iterative processes, convergence, stability and complexity. Numerical software: Introduction to MATLAB.
- Review of linear algebra and matrix computations. Vector and matrix norms. Eigenvalues andeigenvectors: orthogonal matrices and similarity transformations. The Gershgorin theorem.
- Numerical solution of linear systems. Conditioning of the problem. Triangular systems andsubstitution techniques. Matrix factorizations and the Gaussian elimination method. Pivoting strategies. Special type of matrices. Iterative methods for linear systems: general theory of convergence.The Jacobi and the Gauss-Seidel iterative techniques. Specialized convergence criteria for diagonallydominant matrices.
- Approximating eigenvalues of matrices: The power method and its generalizations.
- Numerical solution of nonlinear equations. The bisection method. Fixed point iterative methods.Newton's method. Convergence conditions and comparisons. Algebraic equations:the companion matrix and the eigenvalue connection.
- Polynomial interpolation. The Lagrange form of the interpolating polynomial. Numerical quadrature. Newton-Cotes formulae. Composite numerical integration: the composite trapezoidal rule and its convergence.
Bibliografia e materiale didattico
- R. Bevilacqua, O. Menchi. Appunti di Calcolo Numerico. Dispensa.
- Dispense del corso a cura del docente.
Bibliography
- R. Bevilacqua, O. Menchi. Appunti di Calcolo Numerico. Course Notes.
- Dispense del corso a cura del docente.
Modalità d'esame
Prova scritta e prova orale.
Assessment methods
Methods:
- Final oral exam
- Final written exam
Updated: 29/07/2022 11:33
