ECTS - University of Pisa
Lo scopo del corso di Aritmetica e' rendere gli studenti capaci di fare dimostrazioni per induzione, risolvere congruenze e fare calcoli e considerazioni teoriche con i polinomi. Gli studenti dopo aver superato l'esame avranno inoltre una solida conoscenza del calcolo combinatorio, delle proprieta' di base di gruppi anelli e piena conoscenza della teoria dei campi finiti.
Students are expected to acquire the ability to make proof by induction, to solve congruences and to handle polynomials; a solid basic knowledge of counting; a very neat knowledge of the basic properties of groups, rings and finite field theory.
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale.
La prova scritta puo' essere superata con 2 scritti in itinere o con un'unica prova scritta su tutto il programma. Il compito scritto prevede la risoluzione di 3 o 4 esercizi (2,5-3 ore) di diversa difficolta', sulle varie parti del programma. L'obbiettivo e' testare sia la conoscenza del programma che le capacita' di rielaborazione acquisite dallo studente.
All'esame orale verra' richiesto allo studente di riferire una parte del programma scelta sul momento dalla commissione (e su qusto lo studente dovra' rivelare una visione chira dell'argomento e una conoscenza precisa dei dettagli dimostrativi) e di risolvere qualche esercizio che richiede un ragionamento autonomo.
In the written exam (2,5/3 hours) the student is required to solve 3 or 4 exercises of different difficulty. The aim is to test the knowledge of the student of the course material and of its capability ti apply it to concrete examples. During the oral exam the student must be able to demonstrate his/her knowledge of the course material and to give precise and neat proofs of the main results. The student is also asked to examine in detail specific instances where the theory can be applied.
Methods:
Lo scopo del corso e' rendere lo studente capace di risolvere autonomamente gli esercizi dul programma.
Students will be able to solve exercises on the course programm.
Esame scritto e orale
Seguire le lezioni e svolgere man mano gli esercizi del libro di testo,. Partecipare ai ricevimenti e alle sedute di tutorato.
Attendace is advised. Students are recommended to do exercises from the text book and to follow the tutoring sessions.
Nessuna.
None.
Aritmetica di base e polinomi.
High school arithmetic and polinomials.
Il corso prevede lezioni frontali e esercitazioni in classe, affiancate da ricevimenti studenti e tutorati alla pari.
La frequenza è fortemente consigliata cosi' come lo studio personale durante le volgimento del corso. Lo studente potra' valutare il livello raggiunto per mezzo delle prove in itinere.
Delivery: face to face
Attendance: Advised
Learning activities:
Teaching methods:
Propriet\`a dei numeri naturali. Assioma di buon ordinamento e
principio di induzione.
Elementi di calcolo combinatorio: permutazioni,
principio di inclusione-esclusione.
Numeri interi: divisione euclidea, divisibilit\`a, massimo comune
divisore e minimo comune multiplo, algoritmo di Euclide. Numeri
primi, teorema di fattorizzazione unica. Piccolo teorema di Fermat
e funzione di Eulero.
Congruenze. Teorema cinese del resto. Equazioni e sistemi di
congruenze, equazioni diofantee di primo grado. Relazioni di
equivalenza e insiemi quoziente. Struttura delle classi resto.
Gruppi e sottogruppi, gruppi abeliani e gruppi ciclici. Ordine di
un elemento di un gruppo. Sottogruppi dei gruppi ciclici.
Omomorfismi di gruppi. Classi laterali, sottogruppi normali e
gruppo quoziente. Teorema di omomorfismo. Corrispomndenza fra
i sottogruppi di un gruppo e quelli di un suo quoziente.
Congruenze di secondo grado e congruenze esponenziali.
Numeri complessi: operazioni fondamentali e calcolo delle radici
ennesime.
Polinomi a coefficienti razionali, reali e complessi, e nei campi
con un numero primo di elementi. Proprieta' del grado e divisione
euclidea. Teorema di Ruffini. Polinomi irriducibili e
fattorizzazione unica. Fattorizzazione di polinomi. Criterio di
Eisentein. Radici multiple dei polinomi e criterio della derivata.
Numeri algebrici e numeri trascendenti. Polinomio minimo di un
elemento algebrico su un campo. Estensioni algebriche semplici.
Torri di estensioni, formula dei gradi. Campo di spezzamento di un
polinomio. Campi finiti. Campo di spezzamento del polinomio $X^n-1$
sui campi finiti.
Induction, arithmetic of rational integers and congruences. Basic properties properties of groups, rings and fields; homomorphisms. Polynomials, factorization and Gauss Lemma. Quotients of polynomials in one variable and finite fields.
TESTI DI RIFERIMENTO :
Dispense del corso
R.Chirivi', I. Del Corso, R.Dvornicich - Esercizi scelti di Algebra (vol 1) - Springer Italia
L. Childs, Algebra, un'introduzione concreta, ETS Editrice
I.N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti
P. Di Martino (con la revisione di R. Dvornicich), Algebra,
Edizioni Plus, Universit\`a di Pisa
Notes written by the teachers
R.Chirivi', I. Del Corso, R.Dvornicich - Esercizi scelti di Algebra (vol 1) - Springer Italia
L. Childs, Algebra, un'introduzione concreta, ETS Editrice
I.N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti
P. Di Martino (con la revisione di R. Dvornicich), Algebra,
Edizioni Plus, Universit\`a di Pisa
Seguire lo svolgimento del corso dal registro delle lezioni. Controllare frequentemente la pagina web per indicazioni aggiuntive.
Non-attending students are suggested to consult the daily summary of lectures and the web page of the course.
Esame scritto ed orale.
