ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| GEOMETRIA E TOPOLOGIA DIFFERENZIALE | MAT/03 | LEZIONI | 60 |
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Lo studente che supererà l'esame avrà maturato una solida conoscenza delle prime nozioni di geometria differenziale di curve e superfici, e delle nozioni fondamentali di topologia differenziale per varietà immerse. Conoscerà inoltre i risultati fondamentali della teoria del grado in ogni dimensione e padroneggierà alcune applicazioni (quali il teorema fondamentale dell'algebra, il teorema del punto fisso di Brower, il teorema di (non) pettinabilità delle sfere e il Teorema di Poincaré-Hopf).
Students who successfully complete the course will be able to demonstrate a solid knowledge of the elementary differential geometry of curves and surfaces in Euclidean space, as well as of the rudiments of degree theory in any dimension with applications (e.g. the Brower Fixed Point Theorem, the Hairy Ball Theorem and the Poincaré-Hopf Theorem).
Metodi:
L'esame scritto valuterà la conoscenza dello studente riguardo ai risultati fondamentali della geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo. L'esame orale valuterà la comprensione dello studente degli elementi di topologia differenziale relativi alla teoria delle varietà di dimensione generica immerse nello spazio Euclideo, con particolare riferimento alla teoria del grado e alle sue applicazioni.
Methods:
The written test will evaluate the students' knowledge of the geometry of curves and surfaces in Euclidean spac. The oral exam will evaluate the students' knowledge of the general theory of manifolds embedded in Euclidean space, as well as of degree theory and its applications.
Lo studente che supererà l'esame sarà in grado di determinare curvatura e torsione di curve, e i vari tipi di curvatura delle superfici immerse nello spazio Euclideo. Sarà inoltre in grado di applicare il Teorema Egregium di Gauss ed il Teorema di Gauss-Bonnet a casi specifici, di dimostrare tutti i risultati enunciati nel corso relativi alla teoria delle varietà e alla teoria del grado e di applicarli a casi specifici anche non trattati a lezione.
Students who succesffully complete the course will be able to compute the curvature and the torsion of a curve, as well as the various types of curvatures of a surface embedded in the standard Euclidean space. Moreover, they will be able to apply Gauss' Egregium Theorem and the theorem of Gauss-Bonnet to specific cases. They will also have a good insight into the basics of differential topology: for example, they will learn to apply degree theory to obtain important results such as the fundamental theorem of algebra, Brouwer's fixed point theorem, the hairy ball theorem and the Poincaré-Hopf formula, and how to use these results to solve elementary exercises.
Metodi:
Per superare l'esame scritto lo studente dovrà risolvere esercizi sulla geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo. mostrando di avere sviluppato le capacità sopra citate. Per superare l'esame orale lo studente dovrà dimostrare di avere compreso a fondo gli elementi di topologia differenziale relativi alla teoria delle varietà di dimensione generica immerse nello spazio Euclideo, con particolare riferimento alla teoria del grado e alle sue applicazioni; dovrà inoltre essere in grado di applicare tali risultati per risolvere brevi esercizi.
Methods:
In the written test students will be required to solve some exercises on the geometry of curves and of surfaces in Euclidean space. During the oral exam student will be asked to discuss the reading material on degree theory and its applications thoughtfully, as well as to solve some elementary exercises.
Lo studente che completerà il corso in maniera soddisfacente avrà sviluppato la capacità di dialogare sui contenuti del corso sia con i propri compagni sia con il docente utilizzando un linguaggio adeguato alla materia, ovvero conciso, rigoroso ed espressivo.
Students who succesffully complete the course will be able to discuss the course material with their fellow students, as well as with the teacher, using a rigorous mathematical language.
La verifica delle capacità sopra citate avverrà tramite le conversazioni che avranno luogo e le domande che verranno poste durante l'esame orale.
The behaviours mentioned above will be evaluated via the conversations that will take place and the questions that will be asked during the oral exam.
Topologia generale. Elementi di topologia algebrica (gruppo fondamentale e rivestimenti). Calcolo in una e più variabili.
General Topology. Elements of algebraic topology (fundamental group and covering theory). Calculus of several variables.
Metodo di insegnamento
Frequenza: consigliata
Teaching methods:
Delivery: face to face
Attendance: Advised
M. P. Do Carmo, "Differential geometry of curves and surfaces"
T. Shifrin, "DIFFERENTIAL GEOMETRY: A First Course in Curves and Surfaces", available at http://alpha.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf
J. Milnor, "Topology from the differentiable viewpoint"
V. Guillemin, A. Pollack, "Differential Topology"
M. P. Do Carmo, "Differential geometry of curves and surfaces"
T. Shifrin, "DIFFERENTIAL GEOMETRY: A First Course in Curves and Surfaces", available at http://alpha.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf
J. Milnor, "Topology from the differentiable viewpoint"
V. Guillemin, A. Pollack, "Differential Topology"
Nessuna
None
Per superare l'esame, ogni studente dovrà superare sia un esame scritto nel quale è richiesta la risoluzione di esercizi sulla geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo, sia un esame orale che verte sulla teoria generale delle varietà e sugli elementi di topologia differenziale trattati nel corso.
Students will be required to pass a written examination (in which they will be asked to solve exercises on the geometry of curves and surfaces in Euclidean 3-space) as well as an oral exam on the general theory of manifolds in every dimension and the elements of differential topology treated in the course.
