ECTS - University of Pisa
Alla fine del corso lo studente dovrà conoscere le strutture di base dell'algebra commutativa e le loro proprietà ed essere in grado di applicare tali conoscenze ai vari ambiti della matematica (per esempio alla geometria algebrica). Dovrà inoltre essere in grado di comprendere ed elaborare enunciati e dimostrazioni riguardanti gli specifici argomenti del corso.In particolare lo studente dovrà acquisire conoscenze di strumenti e metodologie riguardanti: ideali, successioni esatte, moduli, prodotti tensoriali, localizzazione, decomposizione primaria, anelli e moduli noetheriani e artiniani, basi di Gröbner e calcolo su anelli di polinomi.
At the end of the course students should acquire knowledge of basic structures of commutative algebra and of their properties and should be able to apply such knowledge to various area of mathematics (e.g. algebraic geometry). Moreover students should be able to understand and elaborate statements and proofs concerning the specific topics of the course. In particular, students must have acquired knowledge about the tools and methodologies concerning: ideals, modules, exact sequences, tensor products, localization, primary decompositions, Artinian and Noethian rings and modules, Gröbner bases and computations on polynomial rings.
I metodi di verifica sono:
- esame finale scritto
- esame finale orale
- prove scritte in itinere
- esercizi disponibili sul sito dei docenti
Methods:
Final oral exam
Final written exam
Periodic written tests
Exercise sheets avaliable on the teachers' websites
Lo studente dovrà essere in grado di comprendere e di elaborare le dimostrazioni dei teoremi trattati durante il corso e dedurre altre proprietà che dipendono da tali teoremi. Inoltre, dovrà essere in grado di risolvere in maniera rigorosa esercizi sugli argomenti trattati a lezione, applicando in maniera adeguata metodi e teoremi presentati durante il corso.
The student must be able to understand and elaborate the proofs of the theorems discussed during the course and deduce other properties which follow from these theorems. Moreover, he/she must be able to solve in a rigorous manner exercises regarding the topics covered in class, applying methods and theorems presented during the course.
Sui testi indicati in bibliografia e sui siti dei docenti sono disponibili esercizi sugli argomenti svolti, tramite tali esercizi e confrontandosi con i docenti ed i colleghi, lo studente sarà in grado di verificare il proprio livello di comprensione.
Exercise on the topics discussed during the lectures are avaliable on various textbooks and on the teachers' websites, with those and through discussions with teachers and colleagues, the student will be able to check his/her level of understanding.
Lo studente sarà in grado di trattare in maniera rigorosa i concetti presentati nel corso e di risolvere esercizi e problemi non banali ad essi collegati. In particolare avrà acquisito un punto di vista più geometrico sulla materia in preparazione per un futuro corso di geometria algebrica, ed una maggiore attenzione a metodi costruttivi che possano essere implementati in algoritmi in preparazione ad eventuali corsi di algebra computazionale.
Students will be able to discuss the topics of the course in a rigorous manner and to solve non-trivial exercise and problems related to such topics. In particular students will acquire a geometric viewpoint on the subject in preparation for a future course on algebraic geometry, and a greater taste for constructive methods that can be implemented via algorithms in preparation for a future course in computational algebra.
Lo studente verificherà la propria comprensione degli argomenti del corso e la propria abilità nella risoluzione degli esercizi discutendone con i docenti e i colleghi e confrontando le proprie soluzioni con quelle degli altri.
Students will verify their understanding of the topics presented in the course and their ability to solve exercises by discussing with teachers and colleagues and by comparing their solutions with them.
Una buona conoscenza dell'aritmetica e delle strutture di base dell'algebra (gruppi e campi). In particolare, aver sostenuto con successo gli esami di Aritmetica e Algebra 1.
A very good knowledge of arithmetic and of the basic algebraic structures (groups, fields). In particular the student should have succesfully taken courses on Arithmetic and Algebra I.
Le lezioni sono frontali. Per imparare la materia si richiede:
- frequenza delle lezioni frontali
- studio individuale
- lavoro di gruppo
La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata.
Delivery: face to face.
Learning activities:
Attendance: not mandatory but advised.
Anelli commutativi: anelli commutativi con unità, ideali, ideali primi e massimali, nilpotenti, anelli quoziente. Omomorfismi e teoremi di omomorfismo. Teorema cinese del resto. Anelli PID and UFD, anelli locali. Anelli di polinomi, spettro di un anello, varietà affini, Hilbert Nullstellensatz.
Moduli: moduli e sottomoduli, moduli finitamente generati, Lemma di Nakayama. Omomorfismi di A-moduli, teoremi di omomorfismo, prodotti diretti e prodotti tensoriali, moduli proiettivi e moduli piatti. Successioni esatte, proprietà dei funtori Hom. Moduli liberi, moduli di torsione, moduli finitamente generati su PID.
Localizzazione: sistemi moltiplicativi, anelli delle frazioni, corrispondenze tra ideali di A e S^{-1}A. Proprietà del funtore S^{-1}, proprietà locali, localizzazione in un primo.
Anelli noetheriani: anelli noetheriani ed artiniani, moduli noetheriani ed artiniani. Ideali primari ed irriducibili, decomposizione primaria in anelli noetheriani.
Basi di Gröbner: ideali monomiali, ordinamenti monomiali, ideali iniziali, S-polinomi e algoritmo di Buchberger. Basi di Gröbner minimali e ridotte. Applicazioni al calcolo di ideali e relazioni con le proprietà delle varietà algebriche affini.
Commutative rings: commutative rings with unity, ideals, prime and maximal ideals, nilpotents, quotient rings. Homomorphisms and homomorphism theorems. Chinese remainder theorem. PID and UFD, local rings. Polynomial rings, spec of a ring, affine varieties, Hilbert Nullstellensatz.
Modules: modules and submodules, finitely generated modules, Nakayama's lemma. Homomorphisms of A-modules, homomorphism theorems, direct products and tensor products, projective modules, flat modules. Exact sequences, Hom functors. Free modules, torsion modules, finitely generated modules over PID.
Localization: multiplicative systems, ring of fractions, correspondence between ideals in A and in S^{-1}A. Functorial properties of S^{-1}, local properties, localization at one prime.
Noetherian rings: Noetherian and Artinian rings, Noetherian and Artinian modules. Primary ideals and irreducible ideals, primary decomposition in Noetherian rings.
Gröbner bases: monomial ideals, monomial orders, initial ideals, S-polynomials and Buchberger algorithm. Minimal and reduced Gröbner bases. Applications to ideals and relations with properties of affine algebraic varieties.
Il libro
A. Bandini - P. Gianni - E. Sbarra
"Esercizi di Algebra Commutativa", Pisa University Press 2022
https://www.pisauniversitypress.it/scheda-libro/andrea-bandini-patrizia-gianni-enrico-sbarra/esercizi-di-algebra-commutativa-9788833396798-576101.html
contiene tutti gli argomenti che verranno trattati durante il corso, e le precedenti dispense rivedute, ampliate e corrette.
Gli argomenti trattati nel corso sono presenti in numerosi libri sull'Algebra Commutativa.
Per esempio:
M. Artin "Algebra" (2nd edition)
M.F. Atiyah - I.G. Macdonald "Introduction to Commutative Algebra"
D. Cox - J. Little - D. O'Shea, "Ideals, Varieties and Algorithms"
D. Eisenbud "Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry"
E. Kunz "Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry"
H. Matsumura "Commutative Ring Theory"
M.Reid "Undergraduate Commutative Algebra"
The book (in italian)
A. Bandini - P. Gianni - E. Sbarra
"Esercizi di Algebra Commutativa", Pisa University Press 2022
https://www.pisauniversitypress.it/scheda-libro/andrea-bandini-patrizia-gianni-enrico-sbarra/esercizi-di-algebra-commutativa-9788833396798-576101.html
includes all topics presented in the course, and the previous course notes suitably revised, expanded and corrected.
The topics presented in the course are treated in several textbooks on Commutative Algebra. Recommended reading:
M. Artin "Algebra" (2nd edition)
M.F. Atiyah - I.G. Macdonald "Introduction to Commutative Algebra"
D. Cox - J. Little - D. O'Shea, "Ideals, Varieties and Algorithms"
D. Eisenbud "Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry"
E. Kunz "Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry"
H. Matsumura "Commutative Ring Theory"
M.Reid "Undergraduate Commutative Algebra"
Consultare le informazioni sul sito del corso.
Please check all the information on the course website.
L'esame consiste in:
- prova scritta
- prova orale
Durante la prova scritta lo studente deve mostrare la propria conoscenza svolgendo esercizi che richiedono l'applicazione dei risultati presentati nel corso. Durante la prova orale lo studente deve dimostrare la propria padronanza degli argomenti del corso esponendo correttamente definizioni, teoremi e dimostrazioni, evidenziando la propria comprensione degli argomenti.
Durante il corso verranno svolte due prove in itinere (compitini), una a metà corso ed una alla fine del corso, prima del primo appello estivo: superare le prove equivale a superare lo scritto. Chi supera le prove intermedie puo' accedere alla prova orale in un qualsiasi appello della sessione estiva.
The exam consists of:
In the written exam students must show their knowledge writing effective and rigorous solutions for some exercises requiring the application of results presented inthe course. During the oral exam students must show their mastery of the course topics by correctly exposing definitions, theorems and proofs, thus proving their understanding of the course material.
There will be written tests during the course: one after (approximately) half the course and one at the end, before the first summer exam: passing the two tests allows the student to be admitted to the oral exam in any of the exams of the summer session.
Homepage di Enrico Sbarra:
http://people.dm.unipi.it/sbarra/#
Homepage di Andrea Bandini:
https://sites.google.com/site/banand207/home
Enrico Sbarra homepage:
http://people.dm.unipi.it/sbarra/#
Andrea Bandini homepage:
https://sites.google.com/site/banand207/home
