Contenuti di Aritmetica e Algebra1

Studio e risoluzione di esercizi

PROGRAMMA PRELIMINARE DI TEORIA ALGEBRICA DEI NUMERI 1

Richiami di teoria di Galois. Corrispondenza di Galois. Gruppi di
Galois delle estensioni ciclotomiche e dei campi finiti.

Estensioni intere di un anello. Norma e traccia. Struttura additiva
dell'anello degli interi di un campo dei numeri. L'anello degli
interi dei campi quadratici.

Discriminante di una $n$-upla di elementi algebrici. Cambi di base
e relazioni fra i discriminanti. Basi intere dei campi ciclotomici.
Basi intere costruite mediante polinomi valutati in un generatore
intero.

Domini di Dedekind. Gruppo degli ideali frazionari e gruppo delle
classi di ideali. Fattorizzazione unica degli ideali nei domini
di Dedekind.

Indice di ramificazione e grado di inerzia dei primi nelle
estensioni. Formula di connessione con il grado dell'estensione.
Il caso delle estensioni di Galois. Teorema di Kummer sullo
spezzamento dei primi nelle estensioni. Spezzamento dei primi
nei campi quadratici e nei campi ciclotomici.

Estensioni di Galois: gruppi di decomposizione e gruppi di inerzia.
Estensioni massimali non ramificate ed estensioni massimali in
cui un primo si spezza completamente. Applicazioni ai campi
ciclotomici: legge di reciprocità quadratica.
Automorfismo di Frobenius per i primi non ramificati.
Caratterizzazione dei primi ramificati come quelli che dividono
il discriminante del campo.

Teorema del corpo convesso di Minkowski. Finitezza del gruppo
delle classi di ideali e determinazione della costante di Minkowski.
Finitezza dell'insieme dei campi di numeri che ha un discriminante
assegnato. Teorema delle unità di Dirichlet.

D. Marcus, Number Fields, Springer Verlag 1977.
W. Narckiewicz, Elementary and Analitic Theory of Algebraic Numbers, Springer 2004.
P. Samuel, Theéorie Algebrique des Nombres, Hermann, Paris 1971.

Fare riferimento al registro delle lezioni, alla pagina web e al programma.

Esame orale