ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI | MAT/05 | LEZIONI | 48 |
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Lo studente che superera' l'esame sara' in grado di manipolare con tecniche elementari
(ma efficienti) le equazioni alle derivate parziali fondamentali della fisica-matematica.
The student who successfully completes the course will be able to manipulate PDEs by using elementary (but efficient) techniques.
Esame scritto ed orale.
Written and oral exam.
Lo studente sara' capace di manipolare equazioni a derivate parziali usando tecniche elementari.
In particolare:
metodo delle caratteristiche, problemi al bordo e problema di Cauchy, principi di massimo in varie forme, convergenza al dato inziale, teoria dell'interpolazione, complementi sulla misura di Lebesgue e sugli spazi funzionali classici.
The student will be able to manipulate partial differerential equation by using elementary techniques. In particular:
characteristic methods for first order PDEs, boundary and Cauchy problems, maximum principles in several forms, convergence to the initial datum, interpolaton theory, further properties on Lebesgue measure and classical functional spaces.
Basic tools in real analysis as maximal functions, convergence almost everywhere,Lebesgue derivation theorem and a.e. convergence to initial datum for the heat flow, Hardy-Littlewood-Sobolev inequality.
Uniqueness criteria for the linear heat equation and finite propagtion speed for the wave equation.
Esame scritto ed orale.
Written and oral exam.
Fornire conoscenze di base utili nel trattare equazioni alle derivate parziali usando strumenti elementari.
To provide basic knowledge in partial differential equations by using elementary tools.
Esame scritto ed orale.
Written and oral exam.
Funzioni di piu' variabili, teoria delle equazioni differenziali ordinarie, spazi L^p e proprieta'di base della misura di Lebesgue.
Theory of multivariable functions, ordinary differerential equations, L^p spaces
and basic knowldge of Lebesgue measure.
Lezioni frontali.
Delivery: face to face
Spazi C^k, spazi di Holder. Spazi di Sobolev in R^n via trasformata di Fourier. Richiami sulla traccia e disequazioni di Sobolev, Young, Poincaré.
Richiami sulle funzioni armoniche.
Equazione di Poisson in R^n. Funzione di Green per il problema di Dirichlet.
Principio del massimo, il caso di operatori ellitiche. Applicazioni:Stime tipo Schauder..
Equazione di Helmholz. Il risolvente del operatore di Laplace in R^n o in un diminio limitato con frontiera.
Idea del metodo di Peron e di layer potential.
Equazione del calore, convergenza al dato iniziale e introduzione al concetto di funzione massimale. Criteri di unicita'della soluzione ed esempi di non unicita'. Idea della equazione di Navier - Stokes,
Equazione delle onde e propeirta'delle soluzioni (velocita'finita di propagazione, comprtamento per grandi tempi etc)
Altri equazioni della fisica matematica: Maxwell, Schrodinger, Klein – Gordon, Dirac.
Equazioni di Hamilton - Jacobi, creazione di shock.
Spaces C^k, Holder spaces. Sobolev spaces in R^n via the Fourier transform. Recalls on the trace and inequalities of Sobolev, Young, Poincaré.
Recalling harmonic functions.
Poisson equation in R^n. Green function for Dirichlet problemt.
Maximum principle. the case of elliptic operators. Applications: Schawder estimates.
Helmholz equation. Resolvent of Laplace operator in R^n or in bounded domain with boundary.
The idea of Peron method and the layer potential method.
Heat equations. convergence to the initial data and introduction to the concept of maximal function. Uniqueness criteria of the solution and examples of non-uniqueness. Introduction to Navier - Stokes equations.
Wave equation and properties of the solutions (finite speed of propagation, behaviour for long times, etc.)
Other equations of mathematical physics: Maxwell, Schrodinger, Klein - Gordon, Dirac.
First-order equations and method of characteristics. Hamilton - Jacobi equations. Shock creation.
J. Rauch, An introduction to PDEs
L. Evans, Partial differential equations
F. John, Partial differential equations
Appunti forniti dal docente.
J. Rauch, An introduction to PDEs
L. Evans, Partial differential equations
F. John, Partial differential equations
Notes provided by the teacher.
Studiare i libri di testo consigliati e gli appunti del docente.
Sara'molto importante testare le proprie capacita'risolvendo esercizi che si possno trovare sia sui libri di testo sia saranno dati nel corso delle lezioni e sulle dispense del corso.
To study suggested textbooks as well as the notes of the course provided by the teacher.
It will be also very important to solve exercises proposed on the textbook as well as during the lectures and on the notes of the course.
Esame scritto ed orale.
