ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| GEOMETRIA ALGEBRICA C/a | MAT/03 | LEZIONI | 42 |
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Al termine del corso lo studente avrà acquisito conoscenze in merito agli strumenti e alle metodologie riguardanti Curve algebriche complesse e Superfici di Riemann
The aim of the course is to provide an introduction to the theory of compact Riemann surfaces and algebraic curves, a very beautiful classical topic. The student that has successfully completed it will be able to move on and read autonomously the scientific literature on the subject and will have a good starting point and motivation for learning algebraic geometry.
Durante la prova orale, lo studente deve mostrare la propria conoscenza degli argomenti del corso esponendo correttamente le definizioni, i teoremi e le dimostrazioni, evidenziando comprensione degli argomenti.
I metodi di verifica sono :
During the oral exam the student must be able to demonstrate his/her knowledge of the course material and be able to discuss the reading matter thoughtfully and with propriety of expression.
Methods:
Lo studente sara' capace di trattare in autonomia argomenti inrenti Superfici di Riemann e Curve algebriche complesse
The student will be able to treat argument concerening Riemannn surfaces and complex algebraic curves
discussione in classe
public discussion
Lo studente sarà pronto a studiare geometria algebrica avanzata, sviluppando capacità di studio individuale che potranno in un futuro essere i primi elementi per un'introduzione ad alcuni argomenti di ricerca contemporanea
The student will be trained to study advanced algebraic geometry. Moreover the student will develop individual skills that may introduce him to advanced research topics
Lo studente verificherà la propria capacità di comprensione degli argomenti affrontati settimanalmente confrontandosi con i colleghi e con il docente.
The student will verify his/her ability to perform the weekly discussions by comparing with the colleagues and with the reader.
analisi complessa
topologia algebrica elementare
geometria algebrica elementare
Complex analysis
elementary algebraic geometry
elementary algebraic topology
lezioni frontali
studio individuale
discussioni di gruppo in aula
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Advised
Teaching methods:
Richiami sulle curve algebriche piane.
Superci di Riemann: denizione ed esempi. Funzioni olomorfe e meromorfe,
morfismi tra superci di Riemann.
Forme differenziali e integrazione su una supercie di Riemann. Teorema dei
residui.
Divisori su superfici di Riemann compatte; divisore associato a una funzione
meromorfa, equivalenza lineare, divisori canonici. Lo spazio L(D) associato
a un divisore D. Divisori e fibrati lineari. Sistemi lineari e mappe a valori
negli spazi proiettivi.
Teorema di Riemann-Roch, Dualita di Serre e loro applicazioni.
Applicazioni pluricanoniche. Curve iperellittiche. Curve di genere basso,
stima di Castelnuovo sul genere di una curva proiettiva.
Denizione della varieta Jacobiana e applicazione di Abel-Jacobi.
Definition and examples of Riemann surfaces. Holomorphic and meromorphic functions of Riemann surfaces. Group actions and finite Riemann surfaces; Hurwitz bound for the number of automorphisms of a curve of genus>1. Differential forms and integration on a Riemann surface. Poincar\'e and Dolbeault lemma. The residue theorem. Divisors on compact Riemann surfaces, principal divisors, linear equivalence, canonical divisors. The space L(D) associated with a divisor D. Linear systems and maps to projective spaces. The Riemann-Roch theorem. Serre duality. Applications of the RR theorem: embedding compact Riemann surfaces in projective space, curves of low genus, pluricanonical maps. Projective curves: Castelnuovo's bound on the genus of a projective curve, general position lemma, flexes and bitangents, Weierstrass points. Definition of the Jacobian variety, Abel-Jacobi map. The theorem of Abel and Jacobi.
R.Miranda: Algebraic curves and Riemann surfaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 5, American Mathematical Society.
F.Kirwan: Complex algebraic curves, London Mathematical Society, Student texts 23.
E.Arbarello, M.Cornalba, P.A Griffiths, J.Harris: Geometry of algebraic curves, Vol. I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 267. Springer-Verlag, New York, 1985.
The course will follow the exposition of: R.Miranda: Algebraic curves and Riemann surfaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 5, American Mathematical Society. Another nice introductory work on the subject is: F.Kirwan: Complex algebraic curves, London Mathematical Society, Student texts 23. Finally, the main reference work for the theory of algebraic curves is: E.Arbarello, M.Cornalba, P.A Griffiths, J.Harris: Geometry of algebraic curves, Vol. I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 267. Springer-Verlag, New York, 1985.
Consultare le informazioni sul sito del corso.
Please check all the information on the website
L'esame consiste in:
The exam consists of:
