ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| ANALISI COMPLESSA B/a | MAT/03 | LEZIONI | 42 |
|
Il corso e' un corso della laurea magistrale, pertanto seguibile e valido anche come corso di dottorato da studenti dottorandi. saranno
Argomenti del corso (a seconda anche delle conoscenze del pubblico) saranno:
Principali propriet\`a dell'algebra delle funzioni olomorfe in pi\`u variabili.
Proprieta' di natura locale e globale.
Nozione di germe di funzione e algebra dei germi di funzioni.
Teoremi di preparazione e di divisione di Weierstrass,Conseguenze sulla noetherianita' dell'algebra dei germi.
Teorema degli zeri (Nullstellensatz) per germi di funzioni.
Passaggio al globale. Nozione di spazio analitico.
Coomologia di uno spazio analitico a coefficienti in un fascio.
Richiami sulla convessita' olomorfa e Spazi di Stein.
Main properties of the algebra of holomorphic functions in several variables. Weierstrass Preparation Theorem, Nullstellensatz, Notion of analyutic space. Cohomology with coefficients in a sheaf.
La verifica avverr\`a tramite esame orale che pu\`o avvenire in modo tradizionale o tramite l'esposizione da parte dello studente di un argomento concordato con il docente strettamente relazionato con quelli del programma
Oral examination or alternatively a one hour talk on a subjet close to the lines of the program
Prerequisiti sono le nozioni di Algebra, Analisi e Geometria apprese durante i primi due anni del corso di Matematica con particolare riguardo a quelle svolte nel corso di Geometria 2. In ogni caso i prerequisiti verranno richiamati ogni volta che risulti necessario.
Prerequisites are the arguments of the first two years in Algebra, Analysis and Geometry, in particular the the arguments of the course of second year of Geometry. In any case they will recalled when necessary.
??
Le nozioni esposte sono classiche e rientrano in molti ambiti tematici, sia a carattere di base che applicativo. In particolare alcune nozioni sono parallele a quelle dei corsi di Geometria Algebrica.
Treated notions are important in different mathematical contests, in particular in Algebraic Geometry
Il corso ha per oggetto lo studio delle propriet\`a delle funzioni
analitiche di pi\`u variabili: tale studio si \`e sviluppato
storicamente in ambito complesso per via della propriet\`a di
olomorfia (derivabilita' in senso complesso) di tali funzioni.
Pertanto il corso inizia con richiami della teoria delle funzioni
olomorfe (Condizioni Cauchy-Riemann, Prolungamento
analitico, Principio del massimo, Teorema di Hartogs, Teorema delle
funzione implicite etc.)e della topologia compatto-aperta sullo spazio
delle funzioni olomorfe.
Poi illustrer\`a le propriet\`a algebriche dell'algebra delle serie di
potenze convergenti, tra cui il teorema di divisione di R\" uckert e il
teorema di preparazione di Weierstrass. Dopo alcuni richiami sugli
anelli noetheriani e anelli a fattorizzazione unica si prover\`a la
Noetherianit\`a dell'anello delle serie, e il Nullstellensatz
per l'anello dei germi di funzioni olomorfe.
In questo ambito una nozione di centrale importanza e che ha
influenzato moltissimo il contesto geometrico nel secolo scorso
permettendo, tra l'altro, di estendere lo studio delle funzioni
olomorfe anche su spazi non necessariamente lisci (cio\`e non necessariamente localmente
omeomorfi a aperti di $\C^n$ ma con opportune singolarit\`a) \`e
quella di struttura di spazio analitico. Il corso potrebbe
concludersi con l'esposizione di tale argomento e la descrizione
locale degli spazi analitici come rivestimento di $\C^n$ al di fuori
di un opportuno sottospazio. (nozione di rivestimento ramificato).
La descrizione globale degli spazi analitici, in particolare degli spazi di Stein, prevede oltre alla nozione di fascio, un poco di teoria di coomologia e verra' fatta seguendo possibilmente lo sviluppo storico di tale nozione, da spazio visto come rivestimento ramificato (Grauert, Remmert) alla nozione di spazio anulato (cioe' con fascio di anelli) (Cartan,Oka, Bruhat, Whitney, Grothendieck).
Maggiori dettagli saranno messi via via sulla mia home page.
Main properties of holomorphic functions in several variables ( as Cauchy Riemann, analytic continuation, maximum principle, Hartogs's theorem, Implicit function theorem) Compact open topology.
Algebraic properties of the algebra of germs of analytic functions (i.e. convergent power series) including Ruckert division theorem and Weierstrass preparation theorem.
Local theory: Germs of analytic space as ramified covers.
Global Theory: Stein spaces.
Per i richiami e gli ampliamenti della teoria delle funzioni olomorfe si puo' consultare uno dei numerosi testi sull'argomento: in particolare il testo
H. Cartan The'orie e'le'mentaire des fonctions analytiques d'une ou' plusieurs variables complexes. Herman Paris 1961
\`e gi\`a noto agli studenti in quanto riferimento base per il corso di Geometria 2.
Per le altre parti del programma un buon riferimento \`e il testo
R.Gunning, H. Rossi Analytic functions of several complex variables Prentice-Hall 1965
Si possono trovare sulla mia pagina on line le note del corso redatte dallo studente Matteo Talluri
H. Cartan The'orie e'le'mentaire des fonctions analytiques d'une ou' plusieurs variables complexes. Herman Paris 1961
R.Gunning, H. Rossi Analytic functions of several complex variables Prentice-Hall 1965
In my home page there are notes (in italian) of the course of the year 2019-20 written by the student Matteo Telluri.
In alternativa all'esame (orale) si pu\`o fare, in accordo con lo studente, una forma di esame che preveda l'esposizione in un seminario della durata di circa una ora di un argomento strettamente correlato al programma.
Oral examination or alternatively a one hour talk on a subjet close to the lines of the program
