ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| PROBABILITÀ E PROCESSI STOCASTICI | MAT/06 | LEZIONI | 60 |
|
Apprendimento dei concetti di base della Probabilità, intesa come calcolo del grado di fiducia basato su informazione parziale, con approfondimenti riguardanti la teoria generale dei Processi Stocastici (catene di Markov, processi di Markov a salti, processi autoregressivi, serie storiche).
Students will learn concepts and techniques from Probability theory and stochastic calculus of processes and time series analysis.
La verifica delle conoscenze acquisite (incluse quelle riguardanti il linguaggio R) si svolgerà attraverso modalità scritta e orale.
Written and oral exams.
Alla fine del corso lo studente avrà sviluppato capacità di studio e risoluzione di problemi che richiedano l'uso di tecniche del calcolo della Probabilità e della Statistica, in particolare collegate alla teoria dei Processi stocastici.
Students will learn techniques to solve theoretical and practical reasoning problems involving probability and to perform some data analysis.
Risoluzione di esercizi/problemi analitici oppure numericamente tramite linguaggio R (prova scritta, o se le condizioni non lo permetteranno, un breve pre-test), prova orale.
Students will be required to analitically and/or numerically solve problems in a written exam, and their knowledge will be tested on a oral exam.
Lo studente acquisirà sensibilità per le problematiche relative al calcolo rigoroso e accurato del grado di fiducia (probabilità) in situazioni di incertezza dovute a informazione incompleta.
Nel corso delle prove scritte, del progetto e della prova orale si verificherà il comportamento di cui sopra.
Conoscenze di Analisi (integrali, derivate -- possibilmente in più variabili) e di Algebra lineare (risoluzione di sistemi lineari, calcolo di autovalori e autovettori, teorema spettrale).
Lezioni frontali alla lavagna digitale (tablet) alternate a slides ed esempi con il software R.
Frontale lectures with slides and real time examples using R software.
Il corso seguirà da vicino il programma dell'anno precedente, trattando i seguenti argomenti:
- introduzione al calcolo delle probabilità, probabilità condizionata, sistemi di alternative, formula di Bayes, indipendenza tra eventi, verosimiglianza
- variabili aleatorie (discrete e continue), variabili congiunte e marginali, formula di Bayes per variabili aleatorie, indipendenza, statistica bayesiana con variabili aleatorie, stima di massima verosimiglianza
- indicatori caratteristici per variabili aleatorie: funzione di ripartizione e sopravvivenza, quantile, mediana, valor medio, varianza e deviazione standard, covarianza, correlazione, momenti, funzione generatrice dei momenti e funzione caratteristica, entropia
- variabili aleatorie gaussiane (reali e vettoriali) e proprietà fondamentali. Stima dei parametri da osservazioni indipendenti. Applicazioni: Principal Component Analysis e Regressione (lineare).
- teoria generale dei processi: classificazione in base agli stati/tempi discreti/continui, stazionarietà, proprietà di Markov, omogeneità. Processi a stati discreti: catene di Markov e processi di Markov a salti, distribuzioni invarianti, stima dei parametri dalle osservazioni. Esempi dalla teoria delle code.
- processi a stati continui: funnzione di autocovarianza e autocorrelazione. Processi gaussiani: white noise, random walk e smorzamento esponenziale. Processi ARIMA e stazionarietà. Stima dei parametri. Teorema di Wiener-Khinchine
- teoremi limite: convergenza di variabili aleatorie, legge dei grandi numeri, teorema ergodico per processi stazionari, teorema limite centrale.
Probability theory: discrete and continuous random variables, conditional probability and Bayes rule, expected value, variance and standard deviation, covariance and correlation, moments, cumulative distribution functions, moment generating functions, independence, law of large numbers and central limit theorem, stochastic processes, Markov property and Markov chain (classification of states and invariant distributions), jump processes (examples from queuing theory). Many examples of probability densities will be encountered, such as Bernoulli, Binomial, Geometric, Poisson, Exponential, Gamma, Beta and Gaussian.
Time series analysis (using R language): empirical mean, standand deviation, correlation and autocorrelation, additive and multiplicative decompositions (moving average), stationary processes, ergodic theorem, spectral density and Wiener-Khinchin theorem. ARIMA processes and decompositions.
Verranno seguiti da vicino gli appunti scritti dal docente. Per la parte riguardante le catene di Markov è un ottimo riferimento anche il libro P. Baldi “Calcolo delle Probabilità” McGraw-Hill (2007).
Per impratichirsi del software R è un ottimo ausilio anche il volumetto di Carmine Frascella “Statistica Multivariata con R”, Pisa University Press.
Lecture notes will be available on the course webpage.
Prova di verifica scritta (inclusi comandi R), prova orale.
Written exam (including R languange test) andoral exam.
