ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| DIFFERENTIAL GEOMETRY | MAT/03 | LEZIONI | 48 |
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Lo scopo del corso è fornire agli studenti delle solide conoscenze riguardanti i più importanti aspetti della geometria differenziale, con un'attenzione particolare a quegli strumenti che hanno applicazioni in fisica teorica. In particolare, la/o studente che completa il percorso con successo acquisirà solide conoscenze sugli argomenti seguenti: - varietà lisce; - campi vettoriali, fibrati vettoriali e flussi; - geometria Riemanniana di base; - forme differenziali.
The aim of the course is to provide the students with a solid knowledge of the most important differential geometric tools, with an eye towards their use in all areas of Mathematics, as well as in the application of Mathematics to other fields. In particular, the student who successfully completes the course will acquire a solid knowledge of: - smooth manifolds; - vector bundles, vector fields and flows; - basic Riemannian geometry; - differential forms.
L'esame è orale.
The exam is oral.
Capire e manipolare varietà lisce, campi e fibrati vettoriali, le strutture riemanniane.
To understand and manipulate smooth manifolds, vector fields and bundles, and some Riemannian geometry.
L'esame è orale, a distanza sulla piattaforma TEAMS.
The exam consists is oral.
La/o studente deve essere in grado di studiare in modo autonomo, partecipando attivamente allo svolgimento del corso.
The student must learn independently and attively attend the course.
L'esame è orale.
The exam is oral.
I corsi di matematica del primo anno, e di analisi del secondo anno.
The 1st year maths courses, and the 2nd year analysis course
Le lezioni saranno a distanza sulla piattaforma TEAMS
Lessons will be on line, on TEAMS.
Cenni di topologia generale.
Varietà lisce. Spazio tangente. Differenziale. Sottovarietà. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Tensori. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilità. Forme differenziali. Differenziale esterno. Integrazione. Teorema di Stokes.
Varietà pseudo-Riemanniane. Connessioni su fibrati. Derivata covariante lungo una curva. Trasporto parallelo. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali. Lunghezza di una curva. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow. Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci. Campi di Jacobi. Teorema di Cartan - Hadamard. Varietà a curvatura costante. Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Equazione di campo di Einstein.
The course covers basics facts of general topology and of differential geometry: smooth manifolds, smooth maps, tangent vectors, vector bundles, tangent and cotangent bundles, tensor bundles, sections of vector bundles, vector fields and differential forms, the flow of a vector field, Lie brackets, orientation, Lie groups.
The course covers differential forms: integration and external differentiation of differential forms, orientation, Stokes theorem.
The course covers the basics of Riemannian geometry: connections, covariant derivative, parallel transport, Riemannian metrics, isometries, Levi-Civita connection, geodesics, exponential maps, Riemannian distance, minimizing properties of geodesics, the Riemann and Ricci tensors, sectional curvature. Einstein field equation.
* Dubrovin, Fomenko, Novikov, Modern Geometry - Methods and Applications
Part I. The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields
* Dubrovin, Fomenko, Novikov, Modern Geometry - Methods and Applications
Part I. The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields
Studiare tutto il programma guardando il registro delle lezioni.
Study the whole program on the curse notes, looking at the website. The exam will be oral,
on line on TEAMS.
L'esame è orale e si svolgera' a distanza sulla piattaforma TEAMS.
The exam in oral, on line on TEAMS.
