ECTS - University of Pisa
Questo corso è dedicato allo studio dell'analisi matematica: limiti, continuità, calcolo differenziale e integrazione, successioni serie e calcolo differenziale in più variabili.
This course is devoted to the study of calculus: limits, continuity, derivation and integration, sequences, series and differential calculus for functions of several variables.
Metodi:
Methods:
Esame qualitativo e quantitativo del comportamento di una funzione di variabile reale.
Calcolo di limiti, derivate e integrali. Convergenza di serie numeriche e integrali impropri. Massimi e minimi per funzioni di più variabili.
Qualitative and quantitative evaluation of the behaviour of a real function.
Calculus of limits, derivatives and integrals. Convergence of series and generalized integrals. Extreme values for function of several variables.
Prove di autovalutazione.
Self evaluation tests.
Lo studente imparerà a capire quali sono gli strumenti necessari a risolvere un problema di Analisi Matematica.
The student will learn which tools are appropriate to solve a problem related to mathematical analysis.
Nelle esercitazioni verranno analizzate le capacità degli studenti nell'affrontare un problema matematico.
In practical classes the students will show their competence facing a mathematical problem.
Nozioni di calcolo di base: disuguaglianze, trigonometria, funzione esponenziale, logaritmi, polinomi.
Basic calculus: inequalities, trigonometry, exponential, logarithm, polynomial.
Lezioni frontali.
Attività di apprendimento:
Frequenza consigliata.
Metodi di insegnamento:
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Advised
Teaching methods:
Invertibiltà di una funzione: dominio, immagine, grafico. Funzioni pari, dispari, periodiche e monotone. Assioma di completezza dei numeri reali. Insiemi limitati. Massimo e minimo di un insieme. Estremi superiore e inferiore. Valore assoluto e disuguaglianza triangolare.
Continuità. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Continuità della funzione inversa.
Limiti. Punti di accumulazione e punti interni. Limiti da sinistra e da destra. Realzione fra continuità e limite. Unicità del limite. Teorema dei Carabinieri. Limite della funzione inversa. Teorema sulla permanenza del segno. Limite della composizione di funzioni. Limite di una funzione monotona. Infinitesimi e infiniti. Massimo e minimo di funzioni definite su insiemi non limitati. Asintoti.
Calcolo differenziale. Derivata. Derivate destra e snistra. Relazione fra derivabilità e continuità. Retta tangente al grafico. Derivate di ordine superiore al primo. Derivata della funzione inversa e della composizione di funzioni. Monotonia e segno della derivata. Punti di massimi o di minimo locali. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Segno della derivata seconda nei punti di massimo o minimo locali. teorema di De L'Hôpital. Formula di Taylor. Polinomi di Taylor delle funzioni elementari. Convessità. Punti angolosi e di cuspide. Grafico qualitativo di una funzione.
Successioni. Limite di una successione. Sotto-successioni. Teorema dei Carabinieri. Esistenza del limite e limitatezza. Successioni divergenti. Composizione tra successioni e funzioni. Criteri del rapporto e della radice. Il fattoriale.
Calcolo integrale. L'integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni generalmente continue. Linearità dell'integrale. Additività rispetto all'intervallo di integrazione. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali con estremi di integrazione variabili. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrale delle funzioni razionali.
Integrali su domini di integrazione non limitati e di funzioni non limitate nell'intorno di un punto. Serie numeriche.
Funzioni di più variabili. Dominio, grafico e curve di livello. Limiti e continuità. Derivate parziali, differenziale e gradiente. Punti stazionari. Derivate seconde, matrice Hessiana. Massimi e minimi locali interni. Massimi e minimi su domini limitati e chiusi. Moltiplicatori di Lagrange.
Invertibility of a function: domain, image, graph. Even, odd, periodic and monotone functions. Completeness axiom for the real numbers. Bounded sets. Maximum and minimum of a set. Least upper bound and greatest lower bound of a set. Absolute value and triangle inequality.
Continuity. The intermediate value theorem. The extreme value theorem. Continuity of the inverse function.
Limits. Cluster points and interior points. Right-hand and left-hand limits. Connection between continuity and limit. Uniquenes of the limit. The squeeze theorem. Limit of the inverse of a function. Sign of a function and sign of its limit. Limit of the composition of functions. Limit and monotone functions. Infintesimal and infinite. Maximum and minimum for functions defined on a unboundet set. Asymptotes.
Differential calculus. Derivative. Right-hand and left-hand derivatives. Connection between differentiability and continuity. Tangent to a graph. Higher derivatives. Derivative of the inverse function and of the composition of functions. Monotonicity and sign of the derivative. Local extremals of a function. Fermat, Rolle and Lagrange theorems. Second derivative and extremals. De L'Hôpital theorem. Taylor formula. Taylor polinomials of elementary functions. Convexity. Cusp and vertex points. Qualitative graph of a function.
Sequences. Limit of a sequence. Subsequences. The squeeze theorem. Limit existence and boundedness. Diverging sequences. Composition between sequences and functions. Ratio and root criteria. The factorial.
Integral calculus. The Riemann integral. Integrability of piecewise continuous functions. Linearity of the integral. Additivity with respect to the integration inteval. Mean value theorem. Potential of a continuous function. Integrals with endpoints depending on a parameter. Integration by parts and by change of variable. Integral of a rational function.
Generalized integrals on unbouded domains and of unbouded functions. Numerical series.
Functions of several variables. Domain, graph and level curves. Limits and continuity. Partial derivatives, differential and gradient. Critical points. Second order derivatives, Hessian matrix. Local extremals in internal points. Extreme values on closed and bounded domains. Lagrange multipliers.
ACERBI E., BUTTAZZO G.: Analisi matematica ABC. 1-Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna
(2003)
BUTTAZZO G., GAMBINI G., SANTI E.: Esercizi di Analisi Matematica I, Pitagora Editrice, Bologna (1991).
AMAR M., BERSANI A.M.: Analisi Matematica 1 Esercizi e richiami di teoria, Edizioni LaDotta, Bologna (2012).
PAGANI C.D., SALSA S.: Analisi matematica 1, Zanichelli, Bologna (2015).
ACERBI E., BUTTAZZO G.: Analisi matematica ABC. 1-Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna
(2003)
BUTTAZZO G., GAMBINI G., SANTI E.: Esercizi di Analisi Matematica I, Pitagora Editrice, Bologna (1991).
AMAR M., BERSANI A.M.: Analisi Matematica 1 Esercizi e richiami di teoria, Edizioni LaDotta, Bologna (2012).
• L’esame è composto da un test, una prova scritta e una prova orale.
• Il test è propedeutico per la prova scritta che a sua volta lo è per la prova
orale.
• Il test e la prova scritta si svolgeranno entrambi il giorno indicato sul
portale Valutami, intervallati da una pausa di 15 minuti.
• Il test è formato da 10 domande a risposta chiusa. Ogni risposta esatta
vale 3 punti, ogni risposta errata vale 1 punto negativo, ogni risposta non
data vale 0 punti. Il test ha la durata di 75 minuti e non è permesso
l’utilizzo di libri, appunti, strumenti di calcolo o di comunicazione.
• Al termine dei test verranno inviate via email o proiettate in aula le risposte
corrette, in modo che i candidati possano calcolare il punteggio ottenuto.
Il test si intende superato con esito positivo solo se si ottiene un punteggio
maggiore o uguale a 15.
• La prova scritta consiste in 3 esercizi da svolgere giustificando i passaggi
logici eseguiti. La prova ha la durata di 90 minuti e possono essere
consultati appunti e libri. Il punteggio massimo conseguibile è 30.
L’accesso alla prova scritta è subordinato al superamento del test.
• Se la media tra i punteggi ottenuti nel test e nella prova scritta è minore
di 18 lo studente dovrà ripetere sia test che compito nell’appello
successivo. In altri termini, il test non viene conservato anche se ha avuto
esito positivo.
• Se la media tra i punteggi ottenuti nel test e nella prova scritta è maggiore
o uguale a 18 lo studente può decidere se concludere l’esame o sostenere
anche la prova orale che è pertanto facoltativa.
• Se non si sostiene la prova orale il voto verbalizzato sarà uguale alla media
tra test e compito alla quale andranno aggiunti gli eventuali punti ottenuti
con le prove su EVO Learning (vedi ultimo punto). Se la somma è superiore
a 26 verrà verbalizzato un voto pari a 26. Per ottenere voti maggiori di 26
è necessario sostenere la prova orale.
• Se si sostiene la prova orale, il voto finale potrebbe essere inferiore al voto
ottenuto con le prove scritte. Non è escluso che il candidato possa essere
respinto.
• Nella prova orale lo studente deve mostrare di conoscere perfettamente le
definizioni e i teoremi in programma, le relative dimostrazioni (quelle che
sono state svolte nel corso) e saper utilizzare tali teoremi per affrontare
un problema di tipo teorico.
• È necessaria l’iscrizione elettronica alle prove scritte sul portale Valutami
all’indirizzo https://esami.unipi.it/esami/. Il risultato della prova scritta
verrà comunicato ai singoli candidati attraverso lo stesso sito. Le
soluzioni dello scritto, le date e il luogo delle prove orali saranno
disponibili in rete su Google Classroom
https://classroom.google.com/c/NjIyMjUwMjk3MTQ4?cjc=bazxeli
• Si ricorda inoltre che per sostenere l’esame, sia scritto che orale, è
necessario accertare l’identità del candidato; si raccomanda pertanto di
portare con sé un documento d’identità valido.
• Per gli studenti del vecchio regolamento (esame da 9 crediti) valgono le
stesse regole, tenendo conto delle differenze nel programma d’esame.
Verifiche intermedie
• Nella prima e nell’ultima settimana di lezione del secondo semestre
verranno erogate in aula due verifiche intermedie nella stessa forma del
test d’esame. La prima verifica verterà sugli argomenti del primo semestre
e la seconda su quelli del secondo semestre. Le due verifiche daranno
luogo ad un voto combinato calcolato come il massimo tra il punteggio
della seconda e la media dei punteggi delle due verifiche. Gli studenti che
otterranno un voto combinato maggiore o uguale a 15 saranno esentati
dal test nei tre appelli estivi e conserveranno come punteggio di test tale
voto combinato. In fase di voto finale i mezzi punti saranno arrotondati
per eccesso. Un voto combinato pari a 14.5 non da diritto all’esenzione dai
test estivi.
• È facoltà dello studente sostenere ugualmente il test in ciascuna prova
d’esame. Verrà considerato il punteggio massimo tra quello del test
sostenuto nell’appello corrente il voto combinato delle due verifiche
intermedie. Il voto combinato delle verifiche intermedie, in caso di
mancato superamento dell’esame, resta valido anche per gli appelli
successivi (fino a quello di luglio).
• Al termine di ogni argomento del corso verrà erogato sulla piattaforma
EVO Learning (https://evo.di.unipi.it/student/courses/2) un esame
composto da 10 domande, simile al test d’esame. L’esame resterà
disponibile per 10 giorni e, dal momento della sua apertura, dovrà essere
completato in 90 minuti. L’esame si considera superato con almeno 5
risposte esatte. In totale verranno erogati 5 esami. Gli studenti che
superano 3 o 4 esami avranno diritto a un punto aggiuntivo sul voto finale.
Gli studenti che superano 5 test avranno diritto a due punti aggiuntivi. I
punti verranno aggiunti alla media tra compito e test e non concorrono al
superamento del test degli appelli d’esame.
Esempi
Esempio 1:
voto combinato delle verifiche intermedie 15
voto test appello di maggio 10
voto compito maggio 21
voto finale verbalizzabile 18
Esempio 2:
voto combinato delle verifiche intermedie 15
voto test appello maggio 24
voto compito maggio 16
voto finale verbalizzabile 20
Esempio 3:
voto combinato verifiche intermedie 15
voto test appello di maggio 24
voto compito maggio 10
esame non superato. Il 15 delle verifiche intermedie può essere utilizzato
per gli appelli di giugno e luglio (anche entrambi)
Per quanto riguarda gli esami sostenuti durante l’anno sulla piattaforma
EVO Learning, nel caso di 3 o 4 esami superati con esito positivo (5
risposte esatte su 10), si avrà diritto a un punto aggiuntivo, con 5 esami
superati si avranno 2 punti aggiuntivi. I punti non saranno aggiunti al
punteggio del test ma alla media tra compito e test, quindi, con test
insufficiente non si potrà sostenere il compito indipendentemente dai punti
aggiuntivi ottenuti su EVO. I punti non decadono nel caso di mancato
superamento dell’esame ma restano validi per tutto l’anno accademico.
Nel caso in cui i punti aggiuntivi consentissero di ottenere un punteggio
maggiore di 26, sarà necessario sostenere l’orale oppure accettare di
verbalizzare 26.
Esempio 1:
voto test o verifiche intermedie 13
punti aggiuntivi EVO 2
si ripete il test negli appelli successivi
Esempio 2:
voto test o media verifiche intermedie 18
voto compito 16
punti aggiuntivi EVO 1
voto finale verbalizzabile 18
Esempio 3:
voto test o media verifiche intermedie 15
voto compito 13
punti aggiuntivi EVO 2
esame non superato
i punti aggiuntivi EVO potranno comunque essere utilizzati negli appelli
successivi
Esempio 4:
voto test o verifiche intermedie 27
voto compito 23
punti aggiuntivi EVO 2
voto verbalizzabile 26
per provare a ottenere un punteggio più alto è necessario fare l’orale
The exam consists in a test, a written exam and an oral exam
• A student must pass the test in order to take the written exam.
• The test and the written exam will take place one after the other, in the day detailed in the exam calendar.
• The test consists in 12 multiple choice questions. Each correct answer is worth 1 point, wrong or no answer 0 points. The duration is 90 minutes and it is forbidden to use books, notes, calculators and cellphones.
• The passing grade for the test is 6 points.
• The written exam consists in 3 exercises. Full justification of the reasoning must be provided. The duration is 90 minutes, and it is permitted to use books and notes. The maximum grade is 20. A student can take the written exam only if they have passed the test.
• Access to the oral exam is only possible after passing the test and the written exam, with grades that sum to at least 18.
• The oral exam is optional. If the grade of test+written exam is 26 or more and the student wants to skip the oral exam, the final grade will be 26. To obtain a final grade higher than 26 a student has to take the oral exam.
• In the oral exam the student is expected to show perfect knowledge of definitions and theorems in the syllabus, together with the proofs that were exaplained in class, and to be able to use them in order to solve theoretical exercises.
• It is compulsory to register online for the exam, at the webpage https://esami.unipi.it/esami/. The result of the written exam will be made known to the student through the same website. The solutions of the written exam, the dates and place of the oral exams will be posted on Google classroom.
• In order to take the written and oral exams, the identity of the students have to be verified. The students need to have an identification document ready for this.
• For students of the "vecchio regolamento" the same rules apply, except for the differences in the syllabus.
