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SPAZI DI SOBOLEV | MAT/05 | LEZIONI | 48 |
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La teoria degli spazi di Sobilev e le sue applicazioni alla teoria delle equazioni alle derivate parziali ed al calcolo delle variazioni.
Esame orale
Applicare la teoria degli spazi di Sobolev a problemi variazionali ed EDP per ottenere l'esistenza di minimi e di soluzioni deboli. Dedurre le principali proprietà delle funzioni di Sobolev partendo dalle definizioni base.
Esame orale
Analisi 1, 2, 3. In particolare: integrzione su superfici regiolari ed integrazione per parti (teorema della divergenza) in R^n; integrazione secondo Lebesgue; spazi L^2 (e più in generale spazi L^p); densità delle funzioni regolari negli spazi L^p; proprietà base della convoluzione; convergneza forte negli spazi L^p; convergenza Lebesgue quasi-ovunque.
Capitolo 1. Gli spazi Lp come spazi di Banach.
• Operatori lineari continui su uno spazio di Banach.
• Teorema di Hahn-Banach.
• Norma di un operatore lineare continuo.
• Le nozioni di spazio duale e di convergenza debole in uno spazio di Bananch.
• Lo spazio duale di Lp nel caso p>1.
• La nozione di convergenza debole negli spazi Lp nel caso p > 1.
• Le successioni limitate (di funzioni in Lp) sono debolmente compatte.
• Le successioni debolmente convergenti (di funzioni in Lp) sono limitate.
• Semicontinuità della norma rispetto alla convergenza debole.
Capitolo 2. Spazi di Sobolev di funzioni di una variabile.
• Derivate deboli e definizione degli spazi W 1,p su un intervallo I ⊂ R.
• Gli spazi W1,p(I) come spazi di Banach.
• Teorema fondamentale del calcolo integrale in W1,p(I).
• Approssimazione con funzioni regolari.
• Somma, prodotto, modulo, inf e sup di funzioni di Sobolev.
• Teoremi di estensione.
• Limitatezza delle funzioni di Sobolev.
• Funzioni di Sobolev su intervalli limitati e serie di Fourier.
• Funzioni di Sobolev su R e trasformata di Fourier.
• Applicazioni alla risoluzione di problemi ellittici e parabolici su intervalli.
Capitolo 3. Spazi di Sobolev di funzioni di più variabili.
Derivate deboli e definizione degli spazi W1,p su insiemi aperti di Rd.
Completezza degli spazi W 1,p .
Gli spazi W1,p 0
Approssimazione con funzioni regolari.
Teoremi di estensione.
Disuguaglianza di Poincaré.
Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger.
Teorema di Rellich.
Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev.
Immersioni di Sobolev nel caso critico p = d.
Lemma di Morrey e immersioni di Sobolev nel caso p > d.
Traccia di una funzione di Sobolev sul bordo di un dominio regolare.
Teorema di Gagliardo e disuguaglianze integrali di Hardy e Minkowski.
Formulazione debole di problemi ellittici.
Operatori compatti su spazi di Hilbert. Teorema spettrale.
Autovalori e autofunzioni del Laplaciano di Dirichlet.
Equazione del calore su domini limitati.
Le dispense del corso verranno caricate sul sito del corso (il link sarà disponibile sul https://people.dm.unipi.it/velichkov/teaching.html).
Libri di testo utili sono:
Esame orale
https://people.dm.unipi.it/velichkov/spazi-di-sobolev-23-24.html