Academic year2023/24
CourseMATHEMATICS
Code109AA
Credits6
PeriodSemester 2
LanguageItalian
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) |
| EQUAZIONI ELLITTICHE | MAT/05 | LEZIONI | 42 | |
Obiettivi di apprendimento
Conoscenze
Il corso ha come obiettivo di introdurre gli studenti alla teoria della regolarità delle soluzioni di equazioni differenziali parziali di tipo ellittico.
Modalità di verifica delle conoscenze
Esame orale
Capacità
Applicare le tecniche ed i metodi presentati durante il corso nello studio di diversi problemi variazionali e di PDE.
Modalità di verifica delle capacità
Esame orale
Modalità di verifica dei comportamenti
Esame orale
Prerequisiti (conoscenze iniziali)
Spazi di Sobolev
Programma (contenuti dell'insegnamento)
Capitolo 1. Continuità delle soluzioni.
Formulazione debole di problemi ellittici. Principio del massimo debole e teoremi di confronto. Parte positiva e modulo di una funzione di Sobolev. Iterazione di De Giorgi e limitatezza delle soluzioni. Limitatezza delle autofunzioni del Laplaciano con condizioni di Dirichlet. Soprasoluzioni e sottosoluzioni. Teorema della media. Continuità Hölder via la proprietà della media. Continuità Hölder fino al bordo via la proprietà della media. Operatori ellittici in forma di divergenza. Disuguaglianza di Caccioppoli. Decadimento dell'oscillazione e continuità Hölder. Teorema di De Giorgi.
Capitolo 2. Stime di Schauder.
Continuità Lipschitz delle soluzioni all'interno e fino al bordo. Spazi di Sobolev sulla sfera unitaria. Formula di Weiss. Disuguaglianza epiperimetrica. Regolarità C1,α delle soluzioni all'interno e fino al bordo.
Capitolo 3. Funzioni armoniche.
Stima del gradiente per le funzioni armoniche e teorema di Liouville. Funzioni armoniche in senso di viscosità. Formula di Poisson. Stima del gradiente. Regolarità Lipschitz fino al bordo e bounded slope condition. Principio del massimo di Hopf. Funzioni armoniche in domini con angoli. Boundary Harnack Principle in domini lipschitziani.
Bibliografia e materiale didattico
Il testo di riferimento principale saranno le dispense del corso.
Come testi complementari sono consigliati:
- Gilbarg, Trudinger - Elliptic partial differential equations of second order
- Jost - Partial differential equations
- Giusti - Direct methods in Calculus of Variations
Modalità d'esame
Esame orale
Updated: 15/09/2023 21:15
