Academic year2023/24
CourseMATHEMATICS
Code096AA
Credits6
PeriodSemester 2
LanguageItalian
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) |
| CALCOLO DELLE VARIAZIONI A/a | MAT/05 | LEZIONI | 42 | |
Obiettivi di apprendimento
Conoscenze
Alla fine del corso lo studente deve avere una buona connoscenza delle basi del calcolo delle variazioni moderno (in particolare il metodo diretto e la regolarità di base dei minimi) e di alcune applicazioni.
Knowledge
At the end of this course the student should know the foundations of modern Calculus of Variations (including existence results via the direct method, basic regularity) and some of its applications.
Modalità di verifica delle conoscenze
Esame orale.
Assessment criteria of knowledge
Oral examination.
Capacità
Alla fine del corso uno studente dovrebbe essere in grado di capire almeno l'introduzione di una pubblicazione di ricerca in quest'ambito. Dovrebbe anche essere in grado di completare una dimostrazione a partire dalla traccia, aggiungendo i dettagli omessi a lezione.
Skills
At the end of the course students should be able to understand at least the introduction of a research publication on the subject. They should also be able to complete a proof starting from a sketch, and fill-in the technical details omitted in the lectures.
Modalità di verifica delle capacità
Esame orale.
Assessment criteria of skills
Oral examination.
Comportamenti
Vedere sopra.
Modalità di verifica dei comportamenti
Vedere sopra.
Assessment criteria of behaviors
See above.
Prerequisiti (conoscenze iniziali)
I corsi di base di analisi e geometria previsti nella laurea triennale. Fondamenti di analisi funzionale e teoria delle funzioni, inclusa la teoria di base degli spazi di Sobolev.
Prerequisites
The standard analysis and geometry courses required for the first degree in Mathematics in Pisa. Basic notions of functional and real analysis, including the elementary theory of Sobolev spaces.
Indicazioni metodologiche
Lezioni frontali.
Teaching methods
Lectures.
Programma (contenuti dell'insegnamento)
Argomenti fondamentali:
- Nozioni di base: equazione di Eulero-Lagrange e sue varianti.
- Il metodo diretto per i risultati di esistenza.
- Risultati di semicontinuità per funzioni integrali (sia nel caso scalare che vettoriale); il ruolo della convessità della funzione integranda (e varianti della convessità).
- Regolarità di base per i minimi e le soluzioni dell'equazione di Euler-Lagrange in forma debole.
- Gamma-convergenza: proprietà elementari ed esempi significativi.
Tempo permettendo includerò uno dei seguenti argomenti:
- Teoremi di riarrangiamento e simmetrizzazione.
- Misure di Young.
- Approccio parametrico alle superifici minime (alla Douglas e Radó);
- insiemi di perimetro finito e problemi di capillarità.
Syllabus
Essential topics:
- Basic notions: Euler-Lagrange equations.
- The direct method for existence results.
- Semicontinuity results for integral functionals (both in the scalar and in the vectorial case); the role of convexity of the integrand (and other variants of convexity).
- Basic regularity of minimizers and solutions of the Euler-Lagrange equation in weak form.
- Gamma-convergence: basic propertiers and relevant examples.
Time allowing, I will alkso cover one of the following topics:
- Rearrangement theorems and symmetrization.
- Young measures.
- Parametric approach to minimal surface (following Douglas and Radó).
- Finite perimeter sets and capillarity problems.
Bibliografia e materiale didattico
Il corso non segue in maniera precisa alcun testo particolare; la maggior parte degli argomenti svolti sono trattati nei seguenti testi:
- F. Clarke: Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Graduate Texts in Mathematics, 264. Springer-Verlag, London, 2013.
- B. Dacorogna: Introduction to the calculus of variations. Imperial College Press, London, 2004.
- B. Dacorogna: Direct methods in the calculus of variations, second edition. Applied Mathematical Sciences, 78. Springer Science+Business Media, New York, 2008.
- Jürgen Jost, X. Li-Jost: Calculus of variations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 64. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
Le comunicazioni riguardanti il corso (lezioni, ricevimenti, esami) verranno date nel team del corso (su Microsoft Teams).
Bibliography
This course does not strictly adhere to any particular textbook; most topics are covered in the following textbooks:
- F. Clarke: Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Graduate Texts in Mathematics, 264. Springer-Verlag, London, 2013.
- B. Dacorogna: Introduction to the calculus of variations. Imperial College Press, London, 2004.
- B. Dacorogna: Direct methods in the calculus of variations, second edition. Applied Mathematical Sciences, 78. Springer Science+Business Media, New York, 2008.
- Jürgen Jost, X. Li-Jost: Calculus of variations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 64. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
All communications regarding the course (lectures, office hours, exams) will be given through the course team (on Microsoft Teams).
Modalità d'esame
L'esame finale consiste di due parti: un seminario su un argomento proposto dal docente ed un orale standard sugli argomenti del corso.
Assessment methods
The final exam consists of two parts: a seminar prepared by the student on a topic proposed by the teacher, and a standard oral examination.
Updated: 13/08/2023 19:05
