ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| ALGEBRA LINEARE | MAT/03 | LEZIONI | 60 |
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Lo studente apprenderà le conoscenze di base di algebra lineare e geometria analitica necessarie per la formulazione e la soluzione di problemi ingegneristici. In particolare, lo studente conoscerà, sia dal punto di vista algebrico sia dal punto di vista geometrico, i concetti di spazio vettoriale e di applicazione lineare utili per la costruzione di modelli matematici lineari di fenomeni ingegneristici dipendenti da più variabili e i principali strumenti (sistemi lineari, determinanti, autovalori e autovettori, forme canoniche) per lo studio di questi modelli. Infine, lo studente acquisirà una sensiblità nei confronti dell'importanza del formulare problemi e soluzioni in modo formale e logicamente corretto.
The student will learn the basic notions of linear algebra and analytic geometry needed for the formulation and resolution of engineering problems. In particular, the student will know, both from an algebraic and a geometric point of view, the concepts of vector space and of linear map useful for building linear mathematical models of engineering phenomena depending on several variables, as well as the main tools (linear systems, determinants, eigenvalues and eigenvectors, canonical forms) for the study of these models. Finally, the student will become aware of the importance of formulating problems and solutions in a formal and logically correct way.
Durante le prove di esame sarà verificata la conoscenza della materia, con una particolare attenzione sulla capacità di sapersi orientare nel quadro teorico di riferimento e su un uso corretto del linguaggio matematico.
During the exam, the student’s knowledge of the subject will be verified, with particular attention to the understanding of the theoretical framework of reference and to an approriate usage of the mathematical language.
Lo studente sarà in grado di risolvere sistemi lineari di ordine qualsiasi, di interpretare geometricamente i risultati ottenuti, di utilizzare matrici per rappresentare applicazioni lineari. di calcolare determinanti e di utilizzare opportuni cambiamenti di base per semplificare il problema da risolvere. Inoltre, sarà in grado di formulare semplici modelli matematici lineari di fenomeni ingegneristici e di studiarli con le tecniche apprese. Infine, sarà in grado di presentare le proprie considerazioni in modo logicamente e matematicamente corretto.
The student will be able to solve linear systems of any order, to geometrically understand the results obtained, to use matrices for rappresenting linear maps, to compute determinants and to use suitable changes of basis to simplify the problem s/he has to solve. Moreover, the student will be able to formulate simple linear mathematical models of engineering phenomena and to study them using the tools learned in the course. Finally, s/he will be able to present their arguments in a logically and mathematically correct way.
Sia durante le lezioni sia nell'esame allo studente saranno proposti degli esercizi da risolvere in cui sarà valutata la capacità di applicare gli strumenti descritti a lezione e la capacità di esprimere in modo chiaro e corretto i procedimenti usati.
During the course and the exam the student will have to solve exercises. The main points to be assessed are the ability in using the tools described in the lectures and the ability in expressing clearly and correctly the procedures used.
Lo studente maturerà l'abitudine ad analizzare criticamente le argomentazioni scritte e orali, controllandone la correttezza logica. Inoltre, sarà in grado di identificare aspetti rappresentabili matematicamente di semplici modelli ingegneristici lineari.
The student will develop the habit of analyzing critically written and oral arguments, checking the logical correctness. Moreover, s/he will be able to identify aspect of simple linear engineering models that can be represented mathematically.
L'acquisizione dei comportamenti sarà verificata durante l'esame finale e, in particolare, nella prova orale, valutando la capacità dello studente di identificare ragionamenti corretti e di presentare semplici modelli matematici.
The demonstration of appropriate behaviours will be verified during the final exam and, in particular, during the oral test, assessing the ability of the student to identify correct arguments and to present simple mathematical models.
Numeri: naturali, interi, razionali e reali. Proprietà fondamentali delle operazioni fra numeri.
Algebra elementare: prodotti notevoli, polinomi, equazioni di primo e secondo grado.
Geometria euclidea: i concetti di assioma, teorema, dimostrazione; segmenti, rette, triangoli, parallelogrammi, rettangoli, quadrati, cerchi e circonferenze; rette parallele e incidenti; somma degli angoli interni di un trangolo; teoremi di Pitagora e di Talete; area di un rettangolo e di un cerchio; lunghezza di una circonferenza; rette ortogonali.
Geometria analitica: assi cartesiani e coordinate cartesiane; grafico di una funzione; rette e grafici di polinomi di primo grado, parabole e grafici di polinomi di secondo grado.
Trigonometria: misura degli angoli in radianti; definizione e proprietà di base delle funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente).
Natural, integer, rational and real numbers. Fundamental properties of the operations between numbers.
Elementary algebra: notable products, polynomials, equations of degree one and two.
Euclidean geometry: the notions of axiom, theorem, proof; segments, lines, triangles, parallelograms, rectangles, squares, circles and circumferences; parallel and incident lines; sum of the internal angles of a triangles; Pytagoras and Thales theorems; area of a rectangle and of a circle; length of a circumference; perpendicular lines.
Geometria analitica: assi cartesiani e coordinate cartesiane; grafico di una funzione; rette e grafici di polinomi di primo grado, parabole e grafici di polinomi di secondo grado.
Trigonometria: misura degli angoli in radianti; definizione e proprietà di base delle funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente).
Nulla di obbligatorio, ma seguire in contemporanea l'insegnamento di Analisi Matematica I può essere utile.
Nothing mandatory, but attending at the same time the Mathematical Analysis I course can be useful.
Questo insegnamento è fortemente consigliato come prerequisito per Analisi Matematica II e Calcolo Numerico e per gli insegnamenti di Meccanica.
This course is warmly suggested as a prerequisite for Mathematical Analysis II and Numerical Calculus as well as for the courses in Mechanics.
Lezioni frontali. La frequenza è caldamente consigliata.
Durante il semestre saranno inserite delle lezioni di sostegno tenute da una collaboratrice del docente dedicate agli studenti con maggiori difficoltà.
Il docente sarà a disposizione per ulteriori spiegazioni e chiarimenti individuali tramite ricevimenti (di persona od online) per almeno un'ora alla settimana, preferibilmente su appuntamento.
Frontal lessons. Attendance is warmly suggested.
During the semester there will be some supporting lectures given by a collaborator of the professor devoted in particular to students having more difficulties in understanding the material.
The professor will be available for supplementary explanations and clarifications via individual meetings (in presence or online) at least one hour every week, preferibly by appointment.
Vettori applicati. Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Equazioni di rette e piani.
Sistemi lineari. Il metodo di eliminazione di Gauss per la soluzione di sistemi lineari quadrati.
Spazi vettoriali. Indipendenza lineare. Basi. Cenni sui numeri complessi.
Applicazioni lineari. Nucleo e immagine. Teorema della dimensione. Teorema di Rouché-Capelli.
Il metodo di riduzione a scala per la soluzione di sistemi lineari qualsiasi.
Matrici e applicazioni lineari. Prodotto righe per colonne di matrici.
Cambiamenti di base.
Determinanti. Sviluppi di Laplace. Teorema di Binet.
Prodotti scalari. Basi ortogonali. Endomorfismi simmetrici e isometrie.
Cenni di geometria affine e di geometria metrica.
Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Il teorema spettrale.
Cenni sulla forma canonica di Jordan.
Applied vectors. Coordinate systems in the plane and in space. Equations of lines and planes.
Linear systems. How to use Gauss elimination to solve square linear systems.
Vector spaces. Linear independence. Bases. Basic facts on complex numbers.
Linear maps. Kernel and image. Dimension theorem. Rouché-Capelli theorem.
How to use row reduction to solve any linear system.
Matrices and linear maps. Rows by colums matrix product.
Change of bases.
Determinants. Laplace expansions. Binet theorem.
Scalar products. Orthogonal bases. Symmetric endomorphisms and isometries.
Basic facts on affine and metric geometry.
Eigenvalues and eigenvectors. Characteristic polynomial. Spectral theorem.
Basic facts on Jordan canonical forms.
Testo di riferimento: M. Abate, "Geometria analitica con elementi di algebra lineare", III edizione, McGraw-Hill Italia, Milano, 2015
Testo di supporto: M. Abate, C. de Fabritiis, "Esercizi di geometria", II edizione, McGraw-Hill Italia, Milano, 2021
Il docente fornirà sul sito Teams dell'insegnamento degli appunti relativi alle forme canoniche di Jordan, argomento non trattato nel testo di riferimento.
Textbook: M. Abate, "Geometria analitica con elementi di algebra lineare", III edizione, McGraw-Hill Italia, Milano, 2015
Supporting text: M. Abate, C. de Fabritiis, "Esercizi di geometria", II edizione, McGraw-Hill Italia, Milano, 2021
The professor will put in the Teams page of the course notes on Jordan canonical forms, topic not covered in the textbook.
Non ci sono indicazioni speciali per non frequentanti.
No special info for non-attending students.
L'esame prevede una prova scritta e una prova orale.
La prova scritta consiste di 3 domande molto semplici ('domande filtro") e 3 esercizi. Per superare la prova scritta e avere l'ammissione all'orale occorre non sbagliare più di una domanda filtro e aver risolto correttamente almeno metà dello scritto nel suo complesso (domande filtro incluse). La valutazione dello scritto non è numerica ma consiste in un giudizio: Insufficiente/Sufficiente/Discreto/Buono/Ottimo.
Una volta superato uno scritto si è ammessi alla prova orale, che può essere svolta in uno qualsiasi degli appelli dell'anno accademico. In caso di ripetizione di una prova scritta prima di sostenere la prova orale viene considerato come giudizio di ammissione all'orale il migliore fra quelli ottenuti. Se non si supera l'esame in questo anno accademico l'ammissione all'orale si perde e occorre sostenere nuovamente la prova scritta.
La prova orale consiste in un colloquio che, a seconda di quanto fatto allo scritto, può comprendere domande teoriche o la risoluzione di semplici esercizi. Il voto finale (in trentesimi con eventuale lode) tiene conto dei risultati sia della prova scritta sia della prova orale. In caso la prova orale risulti insufficiente l'intero esame è insufficiente, l'ammissione all'orale decade e occorre superare nuovamente una prova scritta.
The exam consists in a written test and an oral test.
The written test consists in 3 very easy questions ("filtering questions") and 3 exercises. To pass the written test getting admitted to the oral test one needs to not fail more than one filtering question and to complete satisfactorily at least half of the whole test (filtering questions included). The evaluation of the written test is not given by a number but by a rating: A (Excellent/Ottimo), B (Good/Buono), C (Average/Discreto), D (Pass/Sufficiente), F (Fail).
Having passed a written test one is admitted to the oral test, that can be taken in any session of the academic year. In case one repeats the writen test before taking the oral test, the best evaluation among the ones obtained will be kept. In case one does not pass the exam in this academic year the admission to the oral test is lost and a written test should be taken again in the next academic year.
The oral test consists, depending on the outcomes of the written test, in theoretical questions or in the solution of simple exercises. The final grade (out of 30, possibly with laude) depends on the outcomes both of the written test and of the oral test. If one fails the oral test then the whole exam is failed, the admission to the oral test is lost and one has to pass again a written test.
Non sono previsti.
None.
