ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| SEGNALI ALEATORI | ING-INF/03 | LEZIONI | 60 |
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Il corso fornisce le nozioni fondamentali di teoria della probabilità, variabili aleatorie e processi stocastici, e gli strumenti matematici utilizzati per l'elaborazione di segnali aleatori. Tra gli argomenti del corso ci sono gli assiomi della probabilità, la caratterizzazione statistica completa delle variabili aleatorie mediante la loro funzione di distribuzione (o mediante la densità di probabilità),gli indici statistici quali il valor medio e la varianza, lo studio di trasformazioni di variabili aleatorie, la funzione di autocorrelazione e la densità spettrale di potenza di segnali aleatori, il filtraggio di processi stocastici attraverso sistemi lineari tempo-invarianti.
This course provides a foundation in the theory and applications of probability, random variables and stochastic processes, and an understanding of the mathematical techniques relating to random processes in the areas of signal processing. Topics include the axioms of probability, random variables, and distribution functions; mean value and variance of discrete/continuous random variables; functions of random variables; stochastic processes; linear filtering, power spectral density and autocorrelation function of random signals.
La verifica delle conoscenze sarà effettuata proponendo agli studenti di risolvere degli esercizi in classe con la supervisione del docente. Inoltre, all'inizio di ogni lezione il docente farà un breve riepilogo dei concetti fondamentali visti nella lezione precedente coinvolgendo gli studenti con delle domande al riguardo.
Knowledge assessment will be carried out through exercises that students will be asked to solve in classroom in front of the teacher. In addition, at the beginning of each lesson the teacher will provide a brief summary of the topics covered in the previous lesson, asking questions to the students.
Alla fine del corso, gli studenti dovrebbero:
By the end of the course, students are expected to:
Le capacità acquisite dallo studente saranno verificate mediante esercizi che il docente con regolarità assegnerà agli studenti. La correzione di tali esercizi avverrà in aula, in modo da fornire agli studenti gli strumenti per giudicare il loro livello di preparazione e sensibilizzarli a seguire il corso in maniera attiva.
Skills acquired by the students will be verified through exercises that will be regularly assigned by the teacher. Correction of the proposed exercises will take place in the classroom, in order to allow students to evaluate their level of preparation and giving them the capability of attending the course in an active way.
Gli studenti potranno acquisire e sviluppare rigore metodologico e scientifico, insieme alla capacità di analizzare criticamente le soluzioni dei problemi mettendo in evidenza i pro e i contro dei procedimenti adottati.
Students will acquire and develop methodological and scientific rigour, and will be able to analyze critically exercise solutions highlighting pros and cons of the adopted procedures.
La verifica dei comportamenti degli studenti avverrà in aula durante le lezioni frontali, attraverso domande a loro rivolte su temi specifici trattati durante le lezioni precedenti.
The assessment of the change in attitude of the students will take place in the classroom during lectures, through questions on specific topics discussed in the previous lessons.
Allo studente si richiedono solide basi di analisi matematica (con particolare riguardo al calcolo differenziale ed integrale), conoscenze di base di algebra lineare (vettori, matrici), e familiarità con i principi fondamentali dell'analisi di Fourier e l'elaborazione dei segnali (in particolare, mediante sistemi lineari tempo-invarianti).
The student should have a solid background in calculus (in particular, he/she must be familiar with differential and integral calculus), knowledge of the basics of linear algebra (vector, matrices, and their manipulation), familiarity with the fundamentals of Fourier analysis and signal processing.
Tipo di insegnamento: lezioni frontali
Metodi di apprendimento:
Frequenza: raccomandata
Forme di insegnamento:
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Advised
Teaching methods:
Elementi di teoria della probabilità: esperimenti aleatori e spazio campione, concetto di evento, definizione di probabilità e relativi assiomi, probabilità congiunta e probabilità condizionata, teorema della probabilità totale, teorema di Bayes, eventi indipendenti e loro proprietà, prove indipendenti ripetute.
Variabili aleatorie e vettori aleatori: definizione di variabile aleatoria, variabili aleatorie discrete e continue, variabili aleatorie miste, funzione di distribuzione e sue proprietà, densità di probabilità e sue proprietà, valore medio e varianza di una variabile aleatoria, teorema dell'aspettazione, momenti di una variabile aleatoria, trasormazione di una variabile aleatoria, variabili aleatorie notevoli (uniformi, Gaussiane, esponenziali, di Rayleigh, di Poisson, binomiali).Definizione di vettore aleatorio, densità di probabilità congiunta di una coppia di variabili aleatorie, densità di probabilità marginali, densità di probabilità condizionata, variabili aleatorie indipendenti, concetto di correlazione di una coppia di variabili aleatorie, trasformazione di una coppia di variabili aleatorie, variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane, vettori aleatori Gaussiani e loro proprietà.
Processi stocastici: definizione di processo stocastico, processi parametrici, funzione di distribuzione e densità di probabilità di ordine N, stazionarietà del primo e secondo ordine, processi stazionari in senso lato e in senso stretto, processi indipendenti e incorrelati, funzione di autocorrelazione e sue proprietà, funzione di covarianza di un processo, processi Gaussiani, densità spettrale di potenza e sue proprietà, relazione tra densità spettrale di potenza e funzione di autocorrelazione, densità spettrale di potenza mutua tra due processi, filtraggio lineare di un processo, cross-correlazione tra i processi di ingresso e uscita da un sistema LTI, processi bianchi.
Elements of probability theory: random experiments and sample space, concept of event, definition of probability and related axioms, joint probability and conditional probability, total probability theorem, Bayes theorem, independent events and their properties, repeated independent tests.
Random variables and random vectors: definition of random variable, discrete and continuous random variables, mixed random variables, distribution function and its properties, probability density and its properties, mean value and variance of a random variable, expectation theorem, moments of a random variable, transormation of a random variable, significant random variables (uniform, Gaussian, exponential, Rayleigh, Poisson, binomial). Definition of random vector, joint probability density of a pair of random variables, marginal probability density, correlation of a pair of random variables, transformation of a pair of random variables, Gaussian random variables, Gaussian random vectors and their properties.
Stochastic processes: definition of stochastic process, parametric processes, distribution function and probability density of order N, first and second order stationarity, wide-sense and strict-sense stationary processes, independent and uncorrelated processes, autocorrelation function and its properties , covariance function of a process, Gaussian processes, power spectral density and its properties, relationship between power spectral density and autocorrelation function, mutual power spectral density for two processes, linear filtering of a process, cross-correlation between the input and output processes from an LTI system, white processes.
Testi consigliati:
[1] Marco Luise e Giorgio M. Vitetta, "Teoria dei Segnali", Mc-Graw Hill Companies, 2009.
[2] Lucio Verrazzani, "Teoria dei Segnali: Segnali aleatori", ETS Università, 1984.
[3] Athanasios Papoulis and Unnikrishna Pillai, "Probability, random variables and stochastic processes", McGraw-Hill Education, 2015.
Recommended readings include the following books:
[1] Marco Luise and Giorgio M. Vitetta, "Teoria dei Segnali", Mc-Graw Hill Companies, 2009.
[2] Lucio Verrazzani, "Teoria dei Segnali: Segnali aleatori", ETS Università, 1984.
[3] Athanasios Papoulis and Unnikrishna Pillai, "Probability, random variables and stochastic processes", McGraw-Hill Education, 2015.
I temi affrontati nel corso sono ampiamenti trattati nei testi classici di probabilità e statistica, e quindi facilmente reperibili anche non frequentando le lezioni frontali. Per ogni chiarimento sugli argomenti del corso, è sempre possibile contattare il docente via posta elettronica chiedendo un appuntamento.
The topics of this course are broadly treated in the classical texts of probabilty, random variables and stocastic processes, and therefore they are easily accessible even for students not attending the lessons. For any explanation on the topics of the course, meetings with the lecturer can be arranged by e-mail.
L'esame è composto da una prova scritta e una prova orale. In generale, il voto finale è dato dalla media aritmetica dei voti riportati allo scritto ed all'orale.
Durante la prova scritta, che dura un'ora, lo studente deve risolvere due esercizi sugli argomenti del corso. La prova si svolge in un'aula normale e viene superata solo se lo studente acquisisce un punteggio di almeno 15/30. Una volta superata, essa rimane valida per tutta la sessione di appelli corrente.
Durante la prova orale verrà verificata la comprensione degli aspetti teorici dell'insegnamento da parte del candidato. Si potrà anche richiedere la risoluzione di problemi/esercizi scritti davanti al docente o in separata sede. La prova sarà superata solo se il candidato mostra di sapersi esprimere in modo chiaro e con la giusta terminologia, rispondendo correttamente almeno alle domande sugli argomenti basilari del corso.
The exam is made up of one written test and one oral test. In general, the final score is the arithmetic mean between the scores of the written and oral tests.
During the written exam, which lasts one hour, the student is asked to solve two exercises in order to demonstrate the ability to put into practice the basic principles of statistical signal theory illustrated throughout the course. The written test will be held in a normal classroom, and it will be considered valid if it receives a grade of at least 15 out of 30. The score of the written test remains valid for all the oral exams of the same session (summer or winter sessions).
During the oral exam, the student will be assessed on his/her ability in discussing the main course content and demonstrate his/her knowledge of the course material with competence, critical awareness and propriety of expression. During the oral test, the candidate could be asked to solve written problems/exercises in front of the teacher or in a separate location.
