Scheda programma d'esame
MATHEMATICAL METHODS FOR ECONOMICS
MAURO SODINI
Academic year2019/20
CourseECONOMICS
Code436PP
Credits12
PeriodSemester 1

ModulesAreaTypeHoursTeacher(s)
MATHEMATICAL METHODS FOR ECONOMICSSECS-S/06LEZIONI84
LAURA CAROSI unimap
MAURO SODINI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Il Corso si propone di fornire una solida preparazione di base necessaria per affrontare i corsi successivi programma del corso di laurea. Alla fine del corso lo studente dovrà conoscere gli strumenti matematici necessari per la comprensione dei modelli economici che gli/le verranno presentati nei corsi avanzati di economia.

 

Knowledge

The course aims at providing a solid background in mathematics for economic studies. Particular attention will be given to economic applications. At the end of the course, the student will extend his/her mathematical knowledge related most of the mathematical tools he/she will meet in his/her advanced economic courses.

Modalità di verifica delle conoscenze

Le conoscenze dello studente saranno verificate mediante lo svolgimento di una prova scritta.

Assessment criteria of knowledge

Student's knowledge will be verified  by means of a written exam

Capacità

Alla fine del corso, lo studente dovrà acquisire una notevole padronanza degli strumenti matematici presentati nel corso. Tale competenza sarà di ausilio nella comprensione ed assimilazione dei successivi corsi presenti nel corso di studio, con particolare riferimento a quelli di area economica e statistica. Inoltre lo studente dovrà essere capace di:

  • risolvere esercizi sugli argomenti presentati nel corso
  • effettuare calcoli con precisione ed accuratezza
  • enunciare e dimostrare in modo rigoroso i teoremi dimostrati durante il corso
  • fare proprie tecniche dimostrative
  • studiare la relazione tra teoria ed esercizi
  • formalizzare ed interpretare un modello economico tramite l’ausilio di strumenti matematici
Skills

At the end of the course, the student will be more confident in his/her mathematical abilities. This skill will help him/her in the other courses of his/her economic program.

Moreover, he/she will be able to

  • solve mathematical exercises
  • use mathematical tools for understanding and analysing economic models
  • performing computations with accuracy
  • state and prove theorems from Linear Algebra, Basic topology, Static and Dynamic Optimization
  • investigate the relationship between theory and exercises
  • formalize and interpret economic models by means of mathematical tools
Modalità di verifica delle capacità

Durante la prova scritta, lo studente dovrà risolvere con accuratezza gli esercizi ed enunciare e dimostrare in modo rigoroso alcuni teoremi presentati durante il corso. La capacità di mettere in relazione gli aspetti teorici necessari per lo svolgimento degli esercizi sarà oggetto di specifica valutazione così come l’utilizzo di una terminologia ed un linguaggio matematico appropriato. Inoltre, allo studente è richiesto di saper usare gli strumenti matematici imparati per “leggere” ed interpretare i modelli economici.

 

Assessment criteria of skills

During the exam, the student is required to solve exercises and to prove theorems with accuracy. The ability of finding the connection between theory and exercises will be evaluated. The student is supposed to use a good and proper mathematical language and to use the learnt mathematical instruments to deeply understand economic models.

Comportamenti

Alla fine del corso, lo studente vedrà consolidate le sue abilità nel comprendere, formalizzare e risolvere un problema secondo il linguaggio ed il rigore propri della matematica. Inoltre dovrà acquisire una preparazione matematica necessaria a formalizzare, sviluppare ed interpretare i modelli economici.

Behaviors

The student will enhance his/her major understandings, representational abilities, computational abilities and reasoning ones. Moreover he/she will acquire a solid mathematical background to formalize, develop and interpret economic models.

Modalità di verifica dei comportamenti

Durante l’esame, lo studente dovrà dimostrare le sue capacità di applicare i concetti matematici che ha imparato nel corso.

Assessment criteria of behaviors

During the exams, the student should demonstrate his/her ability to apply the mathematical concepts he/she has learned.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Funzioni ad una e due variabile.

Nozioni base di algebra lineare (matrici e sistemi lineari)

Nozioni base riguardanti equazioni differenziali ed alle differenze.

Prerequisites

Students are supposed to be familiar with the topics usually taught in basic course on Calculus and Elementary linear Algebra. Knowledge on differential and difference equations is also advised.

Indicazioni metodologiche

 

Metodo di insegnamento: lezioni frontali (fortemente consigliate).

Attività per l’ apprendimento: frequenza alle lezioni ed esercitazioni, studio individuale

La frequenza non è obbligatoria, ma consigliata.

Teaching methods

Delivery: face to face

 

Learning activities:

 

   attending lectures

   individual study

 

Attendance: Advised

 

Teaching methods: Lectures

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Part I. Topologia, teoremi di punto fisso e teoremi di separazione

-          Spazi Euclidei: successioni e serie in R ed in Rn.

-          Spazi metrici: successioni, compattezza, completezza. Teoremi di punto fisso.

-          Funzioni continue su spazi metrici. Funzioni continue su insiemi compatti.

-          Corrispondenze e teoremi di punto fisso.

-          Insiemi convessi e teoremi di separazioni.

 

Part II – Algebra lineare

-          Spazi vettoriali. Matrici. Determinante di una matrice.

-          Autovalori e autovettori.

-          Diagonalizzazione di una matrice. Forme canoniche.

-          Funzioni lineari su spazi vettoriali. Funzioni lineari e matrici

 

Part III Funzioni di più variabili in Rn

-          Gradiente e derivate direzionali.

-          Differenziabilità e differenziale di una funzione.

-          Formula di Taylor.

-          Teorema di Eulero.

 

Part IV - Ottimizzazione statica

  • Teorema della funzione implicita: applicazioni.
  • Ottimizzazione libera

-          Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza. Moltiplicatori di Lagrange.

-          Ottimizzazione vincolata: vincoli di disuguaglianza. Moltiplicatori di Lagrange.

-          Convessità generalizzata.

-          Teorema dell’inviluppo.

 

Part V- Sistemi dinamici

-          Sistemi di equazioni alle differenze.

-          Sistemi di equazioni differenziali.

-          Applicazioni economiche.

 

Part VI - Ottimizzazione dinamica

  • Richiami su integrazione di Reimann.
  • Ottimalità in tempo continuo: controllo ottimo, principio del massimo.
  • Ottimalità in tempo discreto: principio del massimo e cenni di programmazione dinamica.
  • Equazione di Bellman ed equazione di Eulero.

 

Syllabus

Part I. Topology, Fixed point theorem and separation

-          The Euclidean spaces. Sequences and series in R and in Rn.

-          Metric spaces: sequences, compactness, completeness. Fixed point theorem.

-          Continuous functions on metric spaces. Continuous functions on compact sets.

-          Correspondence and fixed point theorems.

-          Convex sets and separation theorems

 

Part II – Linear Algebra

-          Vector spaces. Matrices. Determinant of a matrix.

-          Eigenvector and eigenvalues.

-          Diagonalization of a matrix. Canonical forms.

-          Linear Functions. Linear Functions and Matrices.

 

Part III Topics on Multivariable Calculus

-          Gradients and Directional Derivatives.

-          Differentiability and differential of a function.

-          Taylor's formula.

-          Euler's Theorem.

 

Part IV - Static optmization

-          Implicit function theorem: applications.

-          Unconstrained optimization.

-          Optimization with equality constraints: Lagrange multipliers method.

-          Optimization with inequality constraints: Kuhn-Tucker theorem.

-          Generalized Convexity.

-          Envelope theorems.

 

Part V- Dynamical systems

-          System of difference equations.

-          Systems of differential equations.

-          Economic applications.

 

Part VI - Dynamic optmization

-          Review of Reimann Integration.

-          Optimality for continuous-time problems: Optimal Control by Maximum Principle with several final conditions.

-          Optimality for problems in discrete time: Maximum principle and outline of dynamic programming: Bellman equation and Euler equation.

Bibliografia e materiale didattico
  1. Liptschutz, M. Lipson, Schaum’s Outline of Linear Algebra, Fourth Edition, McGraw Hill, 2009 (Chapters 1-10).
  • R. Bronson, Matrix methods, Second Edition, Academic Press, Boston 1991. Chapters 2,5,7,9,10 .
  • K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Seierstad, A. Strom, Further Mathematics for Economic Analysis, Second Edition, Prentice Hall, London 2008 (Chapters 2,3,5,6,7,9,10,11,12,13,14, Appendix B)

 

Testi consigliati per la consultazione

 

  • Serge Lang, Linear Algebra, Springer 1987 (or Addison Wesley, Reading MA 1971) Chapter 1-8.
  • Liptschutz, M- Lipson, Schaum’s Outline of General Topology, McGraw Hill, 1968 or later editions.
  • Munkres, J. R. Topology a first course. Englewood Cliffs, New Jersey [etc.], Prentice- Hall, Inc., 1975 or later editions.
  • Gandolfo, Economic Dynamics, 4th edition, Springer Verlag (2009).
  • Shone, Economic Dynamics: Phase Diagrams and their Economic Application, Cambridge University Press, 2003.
  • P: Simon and L. BLume, Mathematics for economists, International student ed., New York, London : W.W. Norton, c1994, ISBN 978-0-393-11752-3.
  • Knut Sydsæter, Arne Strøm, Peter Berck, Economists’ mathematical manual 4.ed, Berlin, Springer, 2005 ISBN 3-540-26088-9
  • Antonio Villanacci Notes for the Math course at the European University Institute (Disponibile su https://el.unifi.it/pluginfile.php/426564/mod_resource/content/1/math2--2017-08-31.pdf).
Bibliography
  • S. Liptschutz, M. Lipson, Schaum’s Outline of Linear Algebra, Fourth Edition, McGraw Hill, 2009 (Chapters 1-10).
  • R. Bronson, Matrix methods, Second Edition, Academic Press, Boston 1991. Chapters 2,5,7,9,10 .
  • K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Seierstad, A. Strom, Further Mathematics for Economic Analysis, Second Edition, Prentice Hall, London 2008 (Chapters 2,3,5,6,7,9,10,11,12,13,14, Appendix B)

 

Optional readings

  • Serge Lang, Linear Algebra, Springer 1987 (or Addison Wesley, Reading MA 1971) Chapter 1-8.
  • Liptschutz, M- Lipson, Schaum’s Outline of General Topology, McGraw Hill, 1968 or later editions.
  • Munkres, J. R. Topology a first course. Englewood Cliffs, New Jersey [etc.], Prentice- Hall, Inc., 1975 or later editions.
  • Gandolfo, Economic Dynamics, 4th edition, Springer Verlag (2009).
  • Shone, Economic Dynamics: Phase Diagrams and their Economic Application, Cambridge University Press, 2003.
  • P: Simon and L. BLume, Mathematics for economists, International student ed., New York, London : W.W. Norton, c1994, ISBN 978-0-393-11752-3.
  • Knut Sydsæter, Arne Strøm, Peter Berck, Economists’ mathematical manual 4.ed, Berlin, Springer, 2005 ISBN 3-540-26088-9
  • Antonio Villanacci Notes for the Math course at the European University Institute (Free from https://e-l.unifi.it/pluginfile.php/426564/mod_resource/content/1/math2--2017-08-31.pdf).

 

Modalità d'esame

L'esame è composto da una scritta.

La prova scritta, della durata di 3 ore consiste nello svolgimento di esercizi sugli argomenti del corso. Allo studente è richiesto di enunciare e dimostrare in modo rigoroso alcuni tra i teoremi presentati in classe. La prova si svolge in aula normale ed è suddivisa in due parti: la prima riguarda Topologia ed Algebra Lineare, mentre la seconda è relativa al resto del programma. La prova è sufficiente se lo studente raggiuge almeno 7 punti su ciascuna parte ed un punteggio complessivo di 18.

Assessment methods

In the written exam (3 hours), the student must demonstrate his/her knowledge of the course material and his/her ability to solve mathematical problems.

 

Methods: Final written exam

 

Further information:

The exam is written. The student is required to solve exercises and to answer theoretical questions.

The exam is divided in two parts: the first part is about Topology and Liner Algebra and the second part concerns the remainder of the program. The student will be successful only if he/she gets at least 7 points in each part and a global mark of 18.

Updated: 12/09/2019 16:54