Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
MATEMATICA | MAT/05 | LEZIONI | 84 |
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Lo studente potrà acquisire i primi elementi di logica e di operazione tra insiemi, assieme al concetto di funzione; quindi potrà apprendere gli aspetti teorici ma soprattutto pratici relativi al calcolo dei limiti di una funzione in una variabile (con particolare riferimento ai polinomi, alle funzioni razionali fratte, a quelle contenenti radici o termini di tipo esponenziale o logaritmico), al calcolo differenziale e all'integrazione per arrivare a risolvere le equazioni differenziali lineari del primo ordine e quelle a variabili separabili. Inoltre potrà acquisire i primi strumenti di stastistica descrittiva.
The student will be able to master basic notions of logic, sets, the notion of function, mainly considering powers, polynomials and the exponential function. Concerning Infinitesimal Calculus, the student will have the possibility to learn limits of functions of one real variable, then differential calculus and integration for functions of one real variable. Moroever the student will know what is a differential equation of first order; he will acquire some knowledge of the main indexes in descriptive statistics; he will learn the Gaussian reduction and the Cramer's rule to solve linear systems of equations.
The student's knowledge will be assessed through a written test, in any of the exam sessions.
Alla fine del corso lo studente sarà in grado di calcolare limiti e derivate di funzioni in modo da poter tracciare il grafico di una funzione; calcolare integrali di funzioni tramite, ad esempio, il metodo di integrazione per parti o il cambiamento di variabili; risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine ed equazioni differenziali a variabili separabili; risolvere sistemi di equazioni in 3 incognite attraverso il metodo di Gauss e di Cramer, calcolare frequenze, media, mediana, moda e varianza di una variabile statistica discreta.
At the end of the course, the student will be able to study the main analytic and geometric properties of functions of one real variable. The student will be also able to apply Differential and Integral Calculus for specific problems involving functions of one real variable, to solve linear differential equations of the first order, or with separable variables; to solve linear systems by using Gaussian elimination and by Cramer's rule; to compute mean, moda, median, range and variance of statistical discrete distributions.
Le capacità acquisite dallo studente potranno essere accertate sia durante le esercitazioni in aula, sia nella correzione degli esercizi proposti durante il tutorato (e le cui risoluzioni gli studenti potranno inserire su una piattaforma) che nella valutazione delle prove scritte d'esame.
The student skills will be verified both during the exercise sessions and in the final exam.
Lo studente potrà acquisire un metodo logico e operativo in relazione a problemi che si possano modellizzare tramite funzioni reali di una variabile reale. Tale metodo potrà applicarsi sia da un punto di vista teorico che applicativo.
The student will be able to get a method in dealing with problems that can be modeled by a real function of one real variable. This method can be applied following both a theoretical and an applied viewpoint.
La verifica dell'utilizzo degli strumenti matematici presentati nel corso avverrà principalmente attraverso la valutazione degli esercizi assegnati per casa durante il tutorato (e inviati tramite piattaforma) e delle prove scritte d'esame.
The assessment of how the student is able to use the mathematical tools presented in the course will take place mainly through the evaluation of their homework assigned during the tutoring (and upload by the student on a platform) and of the final exam.
Le conoscenze richieste allo studente consistono nell'algebra elementare, specialmente in riferimento alla risoluzione di equazioni e di disequazioni di secondo grado. È inoltre richiesta la conoscenza dei primi elementi di geometria analitica.
The student is supposed to have a basic knowledge of elementary algebra, especially in relation to the solution of equations and inequalities arising from polynomials of second degree. Basic knowledge of Analytic Geometry is also required.
Le lezioni saranno tenute in presenza (o per via telematica) a seconda delle delibere degli organi competenti dell'Ateneo di Pisa. ll corso prevede 84 ore di lezione, con presentazione degli aspetti teorici accompagnati da applicazioni e lo svolgimento di molti esercizi per tutti gli argomenti del corso.
Le lezioni si svolgono alla lavagna/mediante condivisione Ipad.
The lessons will be held in the way decided by the Governance of the University of Pisa.The course provides 84 hours of lectures with presentation of theoretical aspects, applications and several exercises for each one of the topics of the course. Lectures are given on the blackboard/by Ipad.
Prima parte
Secondo parte: strumenti per lo studio di funzione
Limiti di successioni De nizione di limite. Il numero di Nepero. Teoremi di unicità del limite, di permanenza del segno, del confronto, dei carabinieri, del limite della somma, del prodotto, del quoziente. Forme indeterminate. Successioni monotone: esistenza del limite.
Terza parte: Integrazione ed equazioni differenziali del primo ordine.
Quarta parte. Ulteriori strumenti
LOGIC AND SETS. Concept of sets: elements, subsets, equality, union, intersection and difference. Numerical sets: N, Z, Q, R and their fundamental properties. Elements of mathematical language. Induction principle. Newton's binomial theorem.
POWERS, EXPONENTIALS AND LOGARITMS. Powers with integer exponent. Powers with rational exponent. Algebraic properties of powers. Inequalities between powers. Exponential functions: fundamental properties and related charts. Definition of logarithm: properties of logarithms, basis change formula.
FUNCTIONS. Function concept. Injective, surjective, invertible functions. Image set of a function. Even, odd, periodic, monotone functions. Axiom of continuity of real numbers. Numerical sets limited. Maximum and minimum of a set. Lower and upper extremes.
LIMITS. Limit of a succession of real numbers. Theorems of the uniqueness of the limit, of permanence of the sign, of the comparison, of "carabinieri", of the limit of the sum, of the product, of the quotient. Indefinite forms. Monotonic successions: existence of the limit. Limited successions. Definition of limit of a function. Theorems on function limits similar to those for successions. Important limits of functions. Notes on the order of infinitesimal and order of infinity.
DIFFERENTIAL CALCULUS IN A VARIABLE. Continuous functions and related theorems. Continuity of elementary functions. Theorems of existence of zeros, Weierstrass and intermediate values. Bisection method. Image of a continuous function on a range. Derivative of a function. Derivative of the sum, of the product, of the quotient, of the composition of functions. Calculation of the derivative of elementary functions. Links between continuity and derivability. Derivative of the inverse function and its calculation for elementary functions. Theorems of Rolle and Lagrange. Maxima and minima. Relationship between the sign of the derivative and the monotony. De l'Hopital theorem. Functions' study. Charts and their interpretation. Basic operations on the graphs; parity, disparity, frequency of a function, absolute value.
INTEGRAL CALCULATION IN A VARIABLE. Riemann Integral for limited functions over limited intervals. Geometric meaning. Integrability of monotonic functions and continuous functions. Properties of the integral. Integral function. The integral average theorem. Fundamental theorem of integral calculus. Primitives of a continuous function and their use for the calculation of defined integrals. Primitives of elementary functions. Integration formula for parts and for replacement. Integration of rational functions. Improper integrals.
ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. What is an ordinary differential equation and what is a solution. Linear differential equations of first order or with separable variables; Cauchy's problem.
ELEMENTS OF DESCRIPTIVE STATISTICS: frequencies, data representation, position indexes (mean and median), dispersion indices (variance and standard deviation).
RESOLUTION OF LINEAR SYSTEM: by using Gaussian elimination and by Cramer's rule.
Testi consigliati
P. Marcellini – C. Sbordone: ELEMENTI DI CALCOLO – Liguori Editore – 2004
M. Abate: MATEMATICA E STATISTICA, le basi per le scienze della vita – McGraw-Hill – 2017
M. Gobbino-M. Ghisi: Schede di analisi matematica- Editore: Esculapio
Per esercitarsi:
M. Gobbino-M. Ghisi: Esercizi per precorsi di matematica- Editore: Esculapio
P. Marcellini – C. Sbordone: ESERCITAZIONI DI MATEMATICA – Vol. I parte 1, Liguori Editore – 2013
P. Marcellini – C. Sbordone: ESERCITAZIONI DI MATEMATICA – Vol. I parte 2, Liguori Editore – 2014, 2017
Lo studente può inoltre trovare le dispense della docente, gli appunti delle lezioni, esercizi proposti e le tracce finora assegnate nella classroom del corso.
Recommended books
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Teacher's handouts and Lecture notes.
L'esame è costituito da una prova scritta, mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi: più specificatamente è richiesto uno studio di funzione, la risoluzione di un integrale con applicazione allo studio di un'equazione differenziale del primo ordine, un esercizio di statistica descrittiva, un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite. Gli esami scritti sono previsti in ogni sessione d'esame: tre al termine del corso (nel periodo aprile-luglio), uno a settembre, tre nella sessione invernale (gennaio-febbraio). L'esame orale si svolge a scelta dello studente (solo nel caso in cui il voto dello scritto è almeno 18) oppure su richiesta del docente qualora fosse necessario verificare aspetti della risoluzione del compito non adeguatamente giustificati. Esso prevede la discussione del compito scritto, la risoluzione di ulteriori esercizi e la conoscenza delle definizioni, formule, proprietà ed enunciati dei principali teoremi svolti (senza dimostrazioni).
In alternativa al superamento dell'esame scritto totale, si richiede il superamento di due esoneri (con un voto di almeno 16/31 ciascuno e una media aritmetica di almeno 18/31 tra i due voti). E' ammesso agli esoneri solo lo studente che ha superato il test di Matematica zero. Il test di Matematica zero ha lo scopo di dimostrare il recupero o il consolidamento dei prerequisiti richiesti. Lo studente può partecipare lo stesso giorno prima al test di Matematica zero e poi al primo esonero. In tal caso, l’esonero viene corretto solo se il test di Matematica zero risulta sufficiente.
Bonus Matematica zero: il voto del test di Matematica zero (se almeno 7/10) consente di incrementare il voto del compito totale (o il voto medio dei due esami parziali) se quest'ultimo risulta almeno 18, sino a un massimo di 2 punti. Precisamente
OFA: Gli OFA risultano assolti tramite il superamento del Test di Matematica zero con un punteggio di almeno 6/10. Chi ha l’OFA può partecipare lo stesso giorno prima al test di Matematica zero e poi al primo esonero. In tal caso, l’esonero viene corretto solo se il test di Matematica zero risulta sufficiente. Invece lo studente con OFA non può partecipare allo scritto totale fino a che non abbia superato il test di Matematica zero in un appello precedente.
Distribuzione appelli: Gli esami scritti totali sono previsti in ogni sessione d'esame: oltre ai due scritti totali riservati agli studenti lavoratori (di cui uno a novembre), sono previsti tre appelli al termine del corso (nel periodo maggio-luglio 2023), uno a settembre 2023, due nella sessione invernale successiva (gennaio-febbraio 2024).
lo studente ha a disposizione 3 prove per il superamento del Primo Esonero, 3 prove per il superamento Secondo Esonero, 7 Test di Matematica zero.
Più precisamente:
Lo studente che risulta sufficiente al primo Esonero ma che non supera nessuna delle 3 prove relative al Secondo Esonero, deve sostenere l'esame totale (o l'anno successivo riprovare gli esoneri).
Bonus Tutorato. La frequenza degli incontri di tutorato previsti (documentata dall’inserimento su piattaforma dello svolgimento degli esercizi assegnati durante il tutorato) consente il riconoscimento di un ulteriore punto agli studenti che completano l'esame entro la sessione estiva del 2023.
Voto finale. A tutti coloro il cui voto dello scritto (o la media dei due esoneri), comprensivo dell’eventuale punto dovuto al Bonus Tutorato, è almeno 18, verranno riconosciuti in sede di registrazione dell’esame gli eventuali punti Bonus Matematica zero.
Durante la prova scritta non è consentito consultare testi, utilizzare PC, tablet o smartphone, calcolatrici.
The exam consists in a written exam, aimed to assess the student's ability to solve problems and exercises concerning the main topics of the course. The final mark will take into account the correctness and completeness in the written test, active participation during lectures, exercises done during the course. The student who gets a score of at least 18 points in the written exam can ask an oral interview in order to increase his final mark. The oral exam is eventually required by the teacher to verify some unjustified aspects of the resolution of the written test. During the oral exam the student will be required to illustrate some aspects of the course topics (definitions, examples, properties, formulas, theorems, or applications).
It is possibile to split the written partial exam in two parts. The first test takes place after the first half part of the course, the second one at the end of the course. During the written exam it is not permitted to consult texts, use PC, tablet or smartphone, electronic calculator devices.