Scheda programma d'esame
GEOMETRY AND LINEAR ALGEBRA
ANDREA MAFFEI
Academic year2022/23
CourseMECHANICAL ENGINEERING
Code192AA
Credits12
PeriodSemester 1 & 2
LanguageItalian

ModulesAreaTypeHoursTeacher(s)
ALGEBRA LINEAREMAT/03LEZIONI60
ANDREA MAFFEI unimap
GEOMETRIAMAT/03LEZIONI60
BRUNO MARTELLI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Acquisizione dei concetti di base dell'algebra lineare: spazi vettoriali, basi, dimensione, applicazioni lineari e matrici, diagonalizzazione, applicazioni bilineari, basi ortogonali, segnatura di un prodotto scalare, teorema spettrale, coniche proiettive e affini.

Knowledge

Students are expected to acquire basic knowledge on vector spaces,linear maps, matrices, computation of determinant and eigenvalues of a matrix, systems of linear equations, affine and euclidean geometry in the plane and space. Students are expected to acquire operational skills with basic mathematical instruments for the study and analysis of physical laws and the resolution of engineering problems.

Modalità di verifica delle conoscenze

Esame scritto e orale.

Assessment criteria of knowledge

Written and oral exam.

 

 

Capacità

Risoluzione di esercizi.

Skills

Solutions of exercises.

Modalità di verifica delle capacità

Esame scritto e orale

Assessment criteria of skills

Written and oral exam.

Comportamenti

Applicazione di alcuni concetti teorici alla risoluzione di problemi ed esercizi.

Behaviors

Use of theoretical concepts in the solutions of problems and exercises of linear nature.

Modalità di verifica dei comportamenti

Esame scritto e orale.

Assessment criteria of behaviors

Written and oral exam.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

- numeri interi, razionali e reali,  

- geometria euclidea del piano,

- trigonometria piana,

- polinomi: definizione, divisione, radici

- linguaggio della teoria elementare degli insiemi, 

- familiarità con il concetto di dimostrazione.

Prerequisites

- integers, rational and real numbers. 

- ecludean geometry of the plane

- trigonometry 

- polynomials: definitions, division, roots

- language of elementary set theory

- familiarity with mathematics reasoning: definitions, proofs.

Indicazioni metodologiche

Le lezioni in classe sono sia teoriche che di esercitazione. 

Teaching methods

Learning activities:

  • attending lectures
  • individual study

Attendance: Not mandatory

 

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Elementi di algebra. Polinomi. Numeri complessi.

Spazi vettoriali. Definizione ed esempi. Gli spazi Rn e Cn. Dipendenza lineare, generatori e basi. Coordinate. Dimensione. Sottospazi vettoriali. Somma, intersezione, formula di Grassmann, somma diretta.

Applicazioni lineari e matrici. Definizioni ed esempi. Nucleo e immagine. Algebra delle matrici. Applicazione lineare associata ad una matrice. Matrice associata ad una applicazione lineare. Cambio di base.

Determinante. Determinante delle matrici quadrate e significato geometrico. Proprietà caratterizzanti. Sviluppo di Laplace. Teorema di Binet e matrice inversa. Rango.

Sistemi lineari e sottospazi affini. Metodo di Gauss. Sistemi omogenei. Teorema di Rouché-Capelli. Regola di Cramer. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine. Rette e piani nello spazio.

Autovalori ed autovettori. Sottospazi invarianti, autovalori, autovettori ed autospazi. Polinomio caratteristico. Esistenza di basi di autovettori e diagonalizzabilità.

Spazi euclidei. Forme bilineari. Prodotti scalari. Segnatura. Norma, ortogonalità. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram–Schmidt. Prodotto scalare canonico in Rn . Disuguaglianza di Bessel. Isometrie. Matrici ortogonali. Trasformazioni autoaggiunte. Teorema spettrale.

Geometria del piano e dello spazio. Trasformazioni del piano e dello spazio. Isometrie affini, rotazioni, traslazioni, riflessioni. Prodotto vettoriale.

Coniche e quadriche. Definizione e classificazione.

Syllabus

Algebra: polynomials, complex numbers.

Vector spaces: definitions, R^+, C^n, bases. Coordinates, subspaces, Grassmann formula, direct sums.

Linear systems:methods, of solutions,  Rouche Capelli theorem

Linear application and matrices: definitions, examples, Ker, Image, matrices, change of coordinates.

Determinants: definitions, properties, Laplace formula, Binet theorem, Cramer formula.

Eigenvalues and eigenvectors: definitions, charateristic polynomial. diagonalizability of a linear map. Jordan form.

Euclidean spaces. Scalar product, signature, orthogonaity, orthonormal bases, Gram-Schmidt, spectral theorem

Isometries of plane and space. classification

Conics

Bibliografia e materiale didattico

"Geometria e algebra lineare" di Bruno Martelli

Supporti aggiuntivi dalla pagina web del corso

Bibliography

- "Geometria e algebra lineare", Bruno Martelli

- Additional material from the web page course 

Indicazioni per non frequentanti

Oltre al libro e ai supporti aggiuntivi i non frequentanti possono fare riferimento al registro delle lezioni, e agli esercizi assegnati durante l'anno.

Non-attending students info

In addition to the book and the material downloadable from the web page, non-attending students can consult the "Registro delle lezioni" and the exercises assigned every week.

Modalità d'esame

Esame scritto e orale.

Assessment methods

Written and oral exam

Note

Nessuna.

Updated: 15/09/2022 06:32