ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| CALCOLO NUMERICO | MAT/08 | LEZIONI | 60 |
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L'insegnamento ha l'obiettivo di fornire le conoscenze di base del Calcolo Numerico per la risoluzione di sistemi lineari, equazioni e sistemi non lineari, calcolo di auvalori ed autovettori, l'approssimazione di funzioni, il calcolo di integrali definiti e risoluzione di equazioni differenziali lineari.
The student who successfully completes the course will be aware of the main problems arising when using a numerical algorithm to face a problem in applied mathematical analysis and in linear algebra.He/She will be able to demonstrate a solid knowledge of the basic algorithms in numerical analysis and will have the ability to solve numerically some simple problems.
La verifica delle conoscenze consiste nello svolgimento di una prova scritta e di una prova orale.
The student must demonstrate the ability to put into practice and to execute, with critical awareness, the activities illustrated or carried out during the course. At the time of the oral exam the student must be able to demonstrate his/her knowledge of the course material and be able to discuss the reading matter thoughtfully and with propriety of expression.
Methods:
L'insegnamento ha l'obiettivo di sviluppare le capacità di utilizzo degli strumenti matematici introdotti per affrontare la risoluzione numerica di modelli matematici derivanti da problemi dell'ingegneria.
The aim of the course is to develop the skills to use the mathematical tools introduced for solving mathematical models deriving from engineering problems.
La verifica delle capacità è effettuata tramite confronto e discussione durante le lezioni e, dopo la prova scritta, si conclude durante la prova orale.
The assessment of skills is carried out through some discussions during the lessons and, after the written test, is completed during the oral examination.
L'insegnamento ha l'obiettivo di sensibilizzare gli studenti sulla necessità di un approccio matematicamente rigoroso nell'utilizzo degli algoritmi numerici.
The aim of the course is to make students aware of the need for a correct approach to the use of numerical algorithms.
La verifica dei comportamenti avviene con la prova scritta e con la prova orale.
The behavior verification occurs with the written test and oral exam.
Conoscenza degli strumenti forniti nei corsi di Algebra Lineare, Analisi Matematica I e Analisi Matematica II.
The knowledge of the main notions provided during a basic course of Linear Algebra and Calculus is required.
Le lezioni saranno tenute in presenza.
The lessons will be held in person.
ANALISI DELL’ERRORE. Rappresentazione in base dei numeri reali. Numeri di macchina. Troncamento e Arrotondamento. Errori di rappresentazione. Operazioni con i numeri di macchina. Cancellazione numerica. Condizionamento di un problema. Stabilità di un algoritmo.
RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE. Autovalori ed autovettori. Trasformazione di matrici per similitudine. Localizzazione degli autovalori: teoremi di Gerschgorin. Norme di vettori e di matrici.
SISTEMI LINEARI. Condizionamento del problema. Metodi diretti: metodo di Gauss; strategia del pivoting; fattorizzazioni LU e QR. Metodi iterativi: costruzione dei metodi; condizioni di convergenza; criteri di arresto. Metodi iterativi classici: Jacobi e Gauss-Seidel.
EQUAZIONI NON LINEARI. Convergenza e ordine di convergenza di una successione. Metodo di bisezione. Metodo delle secanti. Metodo di Newton. Metodi iterativi stazionari ad un punto: teorema di convergenza locale; ordine di convergenza. Criteri di arresto.
AUTOVALORI. Metodo delle potenze. Matrici di Hessenberg ed il metodo QR per il calcolo di autovalori.
INTERPOLAZIONE ED APPROSSIMAZIONE. Interpolazione polinomiale: esistenza ed unicità del polinomio interpolante. Formula di Lagrange. Differenze divise e polinomio interpolante nella base di Newton. Errore nella interpolazione polinomiale. Interpolazione di Hermite. Errore nella interpolazione di Hermite. Interpolazione mediante funzioni spline. Metodo dei minimi quadrati nel discreto.
INTEGRAZIONE NUMERICA. Formule di quadratura di tipo interpolatorio. Errore e grado di precisione. Formule di Newton-Cotes. Formule gaussiane.
METODI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Metodo di Eulero esplicito ed implicito. Errore di approssimazione e stabilità.
ERROR ANALYSIS. Representation of real numbers. Machine numbers. Truncation and rounding. Absolute errors and relative errors. Operations with machine numbers. Numerical cancellation. Conditioning of a problem. Stability of an algorithm.
RECALLS of LINEAR ALGEBRA. Eigenvalues and eigenvectors. Transformation of matrices by similarity. Localization of eigenvalues: Gerschgorin theorems. Norms of vectors and of matrices.
LINEAR SYSTEMS. Conditioning of the problem. Direct methods: Gauss method; pivoting strategy; LU and QR factorizations. Iterative methods: construction of methods; convergence conditions; stop criteria. Classical iterative methods: Jacobi and Gauss-Seidel.
NONLINEAR EQUATIONS. Order of convergence of a succession. Bisection method. Secant method. Newton's method. One-step stationary iterative methods: local convergence theorem; theorem on the order of convergence. Stop criteria.
EIGENVALUES. Power method. Hessenberg matrices and the QR method for the calculation of eigenvalues.
INTERPOLATION AND APPROXIMATION. Polynomial interpolation: existence and uniqueness of the interpolating polynomial. Lagrange formula. Interpolating polynomial in Newton's base. Error in polynomial interpolation. Hermite interpolation. Error in the interpolation of Hermite. Interpolation by spline functions. Method of least squares in its discrete version.
NUMERICAL INTEGRATION. Interpolator quadrature formulas. Error and degree of precision. Newton-Cotes formulas. Gaussian formulas.
METHODS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS. Explicit and implicit Euler method. Approximation error and stability.
Prova scritta e successiva prova orale.
Le prove d'esame, se svolte per via telematica, saranno tenute su un canale delle piattaforme indicate dall'Ateneo.
Written exam and subsequent oral exam.
The exam tests, if performed electronically, will be held on a channel of the platforms indicated by the University.
