ECTS - University of Pisa
Scheda programma d'esame
NUMERICAL COMPUTATION
LUCA GEMIGNANI
Academic year2023/24
CourseBIOMEDICAL ENGINEERING
Code442AA
Credits6
PeriodSemester 2
LanguageItalian

ModulesAreaTypeHoursTeacher(s)
CALCOLO NUMERICOMAT/08LEZIONI60
LUCA GEMIGNANI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Apprendimento delle tecniche e degli strumenti  per la risoluzione numerica di problemi che scaturiscono nelle applicazioni della matematica. L'enfasi  e'  posta sull'analisi degli aspetti computazionali, quali il condizionamento dei problemi  esaminati, la stabilita'  e la complessita'  dei metodi proposti. Il corso di laboratorio con l'ausilio dello strumento di calcolo MATLAB introduce  lo studente all'analisi sperimentale degli algoritmi e alla  validazione dei risultati.
Knowledge
  • This is intended to be a first course on numerical analysis. It aims to present modern numerical approaches to classical problems in mathematics whose numerical solutions are essential. The problems that will be touched on include linear systems, eigenvalue problems, nonlinear equations, polynomial approximation and integration.
  • In order to learn how to use computational tools in an informed and intelligent way, this course endeavors to explain not only when and how to use various numerical algorithms but also how and why they work.  To do this the students will be able to analyse the computational facets of the presented methods, like the conditioning of a problem and the stability and complexity of a solution method. In addition,   they will be introduced to the industry-standard programming environment  MATLAB throughout the module. Emphasis will be placed on understanding the basic concepts behind the various numerical methods studied, implementing basic numerical methods using the MATLAB structured programming environment, and utilizing more sophisticated numerical methods provided as built-in MATLAB  functions.
Modalità di verifica delle conoscenze

L'accertamento  e la valutazione delle conoscenze  acquisite  avverra` mediante prova scritta  inerente gli aspetti computazionali ed implementativi  dei metodi ilustrati  e prova orale    incentrata sulla discussione delle proprieta` teoriche  di tali metodi.
Assessment criteria of knowledge

In the written exam the student must demonstrate his/her knowledge of the course material and to use Matlab for solving and/or investigating a computational task. During the oral exam the student will be assessed on his/her demonstrated ability to discuss the main course contents using the appropriate terminology.

Methods:

  • Final oral exam
  • Final written exam
Capacità

Lo studente sara` in grado di  illustrare le problematiche computazionali  che sorgono nella risoluzione numerica di un problema  matematico  e nella successiva implementazione del metodo numerico in un ambiente di calcolo scientifico quale MATLAB.
Skills

The student  will be able to  understand and analyse  all  computational  facets  of numerical   methods used for solving mathematical problems.   The student will be also  able to implement these methods by assessing  the quality of numerical results.
Modalità di verifica delle capacità

La prova scritta e` finalizzata a valutare la sensibilita` acquisita dallo studente  in merito agli aspetti computazionali ed implementativi  che sorgono nella risoluzione numerica di problemi matematici mente la prova orale richiede allo studente un'analisi delle  proprieta` teoriche dei metodi utilizzati.
Assessment criteria of skills

The final written exam is focused on computational and implementative issues of numerical methods   while the final oral exam is concerned with  the theoretical results around these methods.
Comportamenti

Lo studente potrà acquisire e/o sviluppare sensibilità alle problematiche computazionali  e numeriche che sorgono nella risoluzione di problemi applicativi  individuando approcci  risolutivi che integrano conoscenze  matematiche ed informatiche.
Behaviors

The  student will be introduced  to  the    design  of  composite approaches  incorporating tools  from computational mathematics and computer science for the  solution of  applicative problems.
Modalità di verifica dei comportamenti

Durante le sessioni di laboratorio  e le lezioni teoriche sono proposti   e descritti esercizi  che partendo da un problema applicativo   ne illustrano la formulazione matematica, la risoluzione numerica e l'algoritmo  di calcolo.
Assessment criteria of behaviors

Exercises  will be proposed  both in laboratory sessions and teaching lectures which  starting from an applicative problem describe  its  mathematical formulation together with its numerical  and  algorithmic  solution.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Nozioni di base dell' algebra lineare   e dell'analisi matematica in una variabile reale.
Prerequisites

Basic knowledge of linear algebra and calculus of one real variable.
Teaching methods

Delivery: face to face

Learning activities:

  • attending lectures
  • individual study
  • Laboratory work

Attendance: Not mandatory

Teaching methods:

  • Lectures
  • laboratory
Programma (contenuti dell'insegnamento)
  1. Rappresentazione dei numeri in base, aritmetica di macchina, generazione degli errori. Errore inerente ed algoritmico nel calcolo di una funzione razionale, studio dell'errore algoritmico mediante l'uso di grafi. Gli ambienti  MATLAB e Octave.
  2. Richiami di algebra lineare. Norme vettoriali. Norme matriciali,  norma 1,2, ``inf''. Localizzazione degli autovalori di una matrice: il teorema di Gershgorin.
  3. Risoluzione numerica di sistemi lineari. Condizionamento del problema. Sistemi lineari con matrice triangolare. Matrici elementari di Gauss. Il metodo di fattorizzazione LU. Il metodo di eliminazione di Gauss. Tecniche di pivoting. Metodi iterativi per sistemi lineari: generalita' ed analisi della convergenza. Il metodo di Jacobi e di Gauss--Seidel; condizioni sufficienti per la convergenza.
  4. Calcolo di autovalori ed autovettori: il metodo delle potenze.
  5. Risoluzione numerica di equazioni non lineari. Il metodo di bisezione.  Metodi di iterazione funzionale: il teorema del punto fisso. Metodo delle tangenti. Polinomi algebrici: condizionamento del calcolo di uno zero semplice, matrice companion.
  6. Interpolazione polinomiale e quadratura numerica. Esistenza ed unicita`del polinomio di interpolazione. Forma di Lagrange del polinomio di interpolazione. Resto dell'interpolazione polinomiale. Quadratura numerica. Generalita' sulle formule di Newton--Cotes. Formula dei trapezi composta: analisi del resto dell'integrazione.

 
Syllabus
  1. Error analysis: round--off errors and computer arithmetic. Conditioning of mathematical problems. Algorithms: iterative processes, convergence, stability and complexity. Numerical software: Introduction to MATLAB.
  2. Review of linear algebra and matrix computations. Vector and matrix norms. Eigenvalues andeigenvectors: orthogonal matrices and similarity transformations. The Gershgorin theorem.
  3. Numerical solution of linear systems. Conditioning of the problem. Triangular systems andsubstitution techniques. Matrix factorizations and the Gaussian elimination method. Pivoting strategies. Special type of matrices. Iterative methods for linear systems: general theory of convergence.The Jacobi and the Gauss-Seidel iterative techniques. Specialized convergence criteria for diagonallydominant matrices.
  4. Approximating eigenvalues of matrices: The power method and its generalizations.
  5. Numerical solution of nonlinear equations. The bisection method. Fixed point iterative methods.Newton's method. Convergence conditions and comparisons. Algebraic equations:the companion matrix and the eigenvalue connection.
  6. Polynomial interpolation. The Lagrange form of the interpolating polynomial. Numerical quadrature. Newton-Cotes formulae. Composite numerical integration: the composite trapezoidal rule and its convergence.

 
Bibliografia e materiale didattico
  1. R. Bevilacqua, O. Menchi. Appunti di Calcolo Numerico. Dispensa.
  2. A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio. Calcolo Scientifico, Esercizi e problemi risolti con MATLAB e Octave. 5a Edizione, Springer.
  3. Dispense del corso a cura del docente.
Bibliography
  1. A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio. Calcolo Scientifico, Esercizi e problemi risolti con MATLAB e Octave. 5a Edizione, Springer.
  2. R. Bevilacqua, O. Menchi, Appunti di calcolo numerico.  Course Notes.
  3. L. Gemignani. Course Notes.
Modalità d'esame

Prova scritta  e prova orale.
Assessment methods

Methods:

  • Final oral exam
  • Final written exam
Updated: 31/07/2023 10:11