Scheda programma d'esame
ISTITUZIONI DI ALGEBRA
TAMAS SZAMUELY
Anno accademico2021/22
CdSMATEMATICA
Codice769AA
CFU11
PeriodoPrimo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
ISTITUZIONI DI ALGEBRAMAT/02LEZIONI72
TAMAS SZAMUELY unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Apprendimento di alcuni risultati e concetti dell'algebra commutativa e noncommutativa e dell'algebra omologica.

 

Knowledge

Fundamental results and concepts of commutative, noncommutative and homological algebra.

Modalità di verifica delle conoscenze

Svolgimento degli esercizi per casa durante l'anno ed esame orale o esame finale orale approfondito.

Assessment criteria of knowledge

Homework and final oral exam, or amplified final oral exam.

Capacità

Saper affrontare un problema di algebra commutativa, noncommutativa o omologica e poter utilizzare questi risultati nello studio di problemi in topologia algebrica o geometria algebrica.

Skills

To get acquainted with some problems of commutative, noncommutative or homological algebra and to be able to use these results in the study of problems in algebraic topology or algebraic geometry.

Modalità di verifica delle capacità

Svolgimento degli esercizi per casa durante l'anno ed esame orale o esame finale orale approfondito.

Assessment criteria of skills

Homework and final oral exam, or amplified final oral exam.

Comportamenti

Il corso prevede di saper seguire delle lezioni, prendere e rielaborare gli appunti, svolgere gli esercizi.

Behaviors

The students should be able to follow lectures, take notes, solve the exercises.

Modalità di verifica dei comportamenti

Svolgimento degli esercizi per casa durante l'anno ed esame orale o esame finale orale approfondito.

Assessment criteria of behaviors

Homework and final oral exam, or amplified final oral exam.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Sono considerati propedeutici i seguenti insegnamenti: aritmetica, algebra 1, algebra 2, geometria e algebra lineare, geometria 2, analisi 1.

In particolare si suppone che lo studente abbia qualche conoscenza (definizione e proprieta` di base) dei seguenti argomenti: moduli su anelli commutativi unitari, prodotto tensoriale, noetherianita` e condizione sulle catene ascendenti, ideali primi e ideali massimali, anelli locali, estensione di campi, gruppo di Galois, determinanti, polinomio caratteristico e teorema di Cayley-Hamilton, elementi di base di topologia generale, lemma dei 5 e lemma del serpente.

Prerequisites

The student should already know the following subjects: modules over unitary commutative rings, tensor product, noetherian and artinian modules and rings, prime and maximal ideals, local rings, localization, primary decomposition, field extensions, Galois group, determinants, characteristic polynomial, Cayley-Hamilton theorem, some standard definitions of general topology, five and snake lemmas.

In Pisa these material is covered by the the following courses: Aritmetica, Algebra 1, Algebra 2, Geometria 1 & 2, Analisi 1. The student should have already passed these or some equivalent exams. 

 

Indicazioni metodologiche

Lezioni frontali ed esercizi per la casa.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Nozioni di dimensione di un anello commutativo. Hauptidealsatz di Krull e applicazioni. Dimensione di un'algebra finitamente generata su un campo.

Successioni regolari, anelli locali regolari, caratterizzazioni equivalenti.

Completamento, lemma di Artin-Rees, anelli di Cohen. Struttura degli anelli locali regolari completi. Vettori di Witt.

Cenni di base di algebra omologica: complessi,successioni esatte lunghe, funtori derivati, Ext e Tor. Dimensione omologica, caratterizzazione omologica degli anelli regolari.

Algebre semplici (noncommutative) centrali su un campo. Teoremi di struttura. Gruppo di Brauer, descrizione coomologica. Indice e periodo. Calcolo del gruppo di Brauer di campi particolari.

Syllabus

Notions of dimension for a commutative ring. Krull's Hauptidealsatz and applications. Dimension of a finitely generated algebra over a field.

Regular sequences, regular local rings, equivalent characterizations.   Completion, Artin-Rees lemma, Cohen rings. Structure of regular complete local rings. Witt vectors.

Basic concepts of homological algebra: complexes, long exact sequences, derived categories, Ext and Tor. Homological dimension, homological characterization of regular local rings.

Central simple (noncommutative) algebras over a field, their structure theory. The Brauer group and its cohomological description. Index and period. Brauer groups of particular fields.

Bibliografia e materiale didattico

Weibel: Introduction to homological algebra
Atiyah-MacDonald: Introduzione all'algebra commutativa
Matsumura, Commutative ring theory

Rotman: Introduction to homological algebra

Gille-Szamuely: Central simple algebras and Galois cohomology

Bibliography

Weibel: Introduction to Homological Algebra
Atiyah & MacDonald, Introduction to Commutative Algebra
Matsumura, Commutative ring theory.

Rotman: Introduction to homological algebra

Gille-Szamuely: Central simple algebras and Galois cohomology

Indicazioni per non frequentanti

Oltre il materiale bibliografico indicato chi non frequenta puo` aiutarsi con i testi degli esercizi assegnati durante l'anno e con il registro delle lezioni.

Non-attending students info

The students can consult the  exercises assigned during the course and the "registro delle lezioni".

Modalità d'esame

Svolgimento degli esercizi per casa durante l'anno ed esame orale o esame finale orale approfondito.

Assessment methods

Homework and final oral exam, or amplified final oral exam.

Ultimo aggiornamento 16/07/2021 16:28