Scheda programma d'esame
GEOMETRIA DIFFERENZIALE
BRUNO MARTELLI
Anno accademico2021/22
CdSFISICA
Codice719AA
CFU6
PeriodoPrimo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettore/iTipoOreDocente/i
DIFFERENTIAL GEOMETRYMAT/03LEZIONI48
BRUNO MARTELLI unimap
STEFANO RIOLO unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo scopo del corso è fornire agli studenti delle solide conoscenze riguardanti i più importanti aspetti della geometria differenziale, con un'attenzione particolare a quegli strumenti che hanno applicazioni in fisica teorica. In particolare, la/o studente che completa il percorso con successo acquisirà solide conoscenze sugli argomenti seguenti: - varietà lisce; - campi vettoriali, fibrati vettoriali e flussi; - geometria Riemanniana di base; - forme differenziali.

Knowledge

The aim of the course is to provide the students with a solid knowledge of the most important differential geometric tools, with an eye towards their use in all areas of Mathematics, as well as in the application of Mathematics to other fields. In particular, the student who successfully completes the course will acquire a solid knowledge of: - smooth manifolds; - vector bundles, vector fields and flows; - basic Riemannian geometry; - differential forms.

Modalità di verifica delle conoscenze

L'esame è orale, con eventualmente uno scritto preliminare. Per aiutare la/o studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati degli esercizi.

Assessment criteria of knowledge

The exam consists in an oral part and possibly a prior written part. Home exercises will be assigned to the students who attend the lessons weekly, to help them following the lectures. 

Capacità

Capire e manipolare varietà lisce, campi e fibrati vettoriali, le strutture riemanniane.

Skills

To understand and manipulate smooth manifolds, vector fields and bundles, and some Riemannian geometry.

Modalità di verifica delle capacità

L'esame è orale, con eventualmente uno scritto preliminare. Per aiutare la/o studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati degli esercizi.

Assessment criteria of skills

The exam consists in an oral part and possibly a prior written part. Home exercises will be assigned to the students who attend the lessons weekly, to help them following the lectures. 

Comportamenti

La/o studente deve essere in grado di studiare in modo autonomo e risolvere autonomamente degli esercizi impegnativi.

Behaviors

The student must learn independently and solve hard exercises.

Modalità di verifica dei comportamenti

L'esame è orale, con eventualmente uno scritto preliminare. Per aiutare la/o studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati degli esercizi.

Assessment criteria of behaviors

The exam consists in an oral part and possibly a prior written part. Home exercises will be assigned to the students who attend the lessons weekly, to help them following the lectures. 

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

I corsi di matematica del primo anno, e di analisi del secondo anno.

Prerequisites

The 1st year maths courses, and the 2nd year analysis course 

Indicazioni metodologiche

Le lezioni saranno frontali. Verranno consegnati degli esercizi da fare a casa.

Teaching methods

Lessons will be face to face.
Home exercises will be assigned to attending students.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Varietà lisce. Spazio tangente. Differenziale. Sottovarietà. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Tensori. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilità. Forme differenziali. Differenziale esterno. Integrazione. Teorema di Stokes. Equazioni di Maxwell.

Varietà pseudo-Riemanniane. Connessioni su fibrati. Derivata covariante lungo una curva. Trasporto parallelo. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali. Lunghezza di una curva. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow. Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci. Campi di Jacobi. Teorema di Cartan - Hadamard. Varietà a curvatura costante. Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Equazione di campo di Einstein.

Syllabus

The course covers the basics of differential geometry: smooth manifolds, smooth maps, tangent vectors, vector bundles, tangent and cotangent bundles, tensor bundles, sections of vector bundles, vector fields and differential forms, the flow of a vector field, Lie brackets, orientation, Lie groups.

The second part of the course covers differential forms: integration and external differentiation of differential forms, orientation, Stokes theorem. Maxwell's equations.

The last part covers the basics of Riemannian geometry: connections, covariant derivative, parallel transport, Riemannian metrics, isometries, Levi-Civita connection, geodesics, exponential maps, Riemannian distance, minimizing properties of geodesics, the Riemann and Ricci tensors, sectional curvature. Einstein field equation.

Bibliografia e materiale didattico

* Note del docente scaricabili dal sito
* Dubrovin, Fomenko, Novikov, Modern Geometry - Methods and Applications
Part I. The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields

Bibliography

* Some notes available on the web page
* Dubrovin, Fomenko, Novikov, Modern Geometry - Methods and Applications
Part I. The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields

Indicazioni per non frequentanti

Studiare tutto il programma sulle note del corso guardando il registro delle lezioni. 

Non-attending students info

Study the whole program on the curse notes, looking at the website. The exam will be written and oral.

Modalità d'esame

L'esame è orale, con eventualmente uno scritto preliminare. Per aiutare la/o studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati degli esercizi.

Assessment methods

The exam consists in an oral part and possibly a prior written part. Home exercises will be assigned to the students who attend the lessons weekly, to help them following the lectures. 

Ultimo aggiornamento 17/07/2021 19:18