Gli strumenti concettuali di base riguardanti l'algebra lineare e l'analisi in più variabili.
Esame scritto e orale.
Al temine del corso, lo studente sii spera abbia capito e sappia usare gli strumenti di base inerenti agli argomenti trattati.
Esame scritto e orale.
Lo studente, abituato ad interessarsi a concetti profondi e importanti, perde interesse per la burocrazia inutile.
Nessuna.
Modulo di Algebra Lineare
Modulo di Analisi II
Preliminari/Prerequisiti
– Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).
– Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, applicazioni lineari e prodotti scalari).
Modulo di Algebra Lineare
Spazi vettoriali ed applicazioni lineari.
Prodotti scalari e forme quadratiche
Geometria analitica
Sistemi lineari
Modulo di Analisi II
Preliminari/Prerequisiti
– Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).
– Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, matrici,
forme quadratiche).
Calcolo differenziale in più variabili
– Lo spazio Rn. Vettori e operazioni tra vettori. Norma, distanza, prodotto scalare.
– Funzioni di più variabili e loro grafico. Visualizzazione del grafico per funzioni di due variabili:
linee di livello e restrizione alle rette (o curve) passanti per un punto.
– Limiti e continuità per funzioni di più variabili.
– Derivate parziali e direzionali per una funzione di più variabili e loro significato geometrico.
– Differenziale per funzioni di più variabili e sua interpretazione geometrica in termini di (iper)piano tangente al grafico. Relazione tra le derivate direzionali e le derivate parziali per una funzione differenziabile. Gradiente e suo significato geometrico. Teorema del differenziale totale.
– Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell’ordine di derivazione. Formula di Taylor in due o più variabili (cenni).
– Massimi e minimi locali e globali per funzioni di più variabili.
– Matrice Hessiana e comportamento locale di una funzione in un intorno di un punto stazionario.
– Insiemi compatti in Rn. Teorema di Weierstass per funzioni di pi`u variabili.
– Massimi e minimi vincolati.
– Calcolo differenziale per funzioni da Rn ad Rm. Matrice Jacobiana.
– Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili e suo significato geometrico/fisico.
– Formula di riduzione di un integrale doppio a due integrali semplici mediante sezioni.
– Integrali tripli: formule di riduzione per sezioni e per colonne.
– Sfruttamento delle simmetrie per semplificare il calcolo di integrali doppi o tripli.
– Calcolo di aree, volumi e baricentri mediante integrali doppi e tripli.
– Coordinate polari nel piano. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Utilizzo delle
coordinate polari e sferiche per il calcolo di integrali multipli.
– Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi.
– Integrali impropri in più variabili: definizioni e studio della convergenza.
Curve, superfici, calcolo vettoriale
– Curve: definizione. Curve chiuse e semplici. Vettore, versore e retta tangente.
– Lunghezza di una curva: definizione e calcolo.
– Integrali curvilinei (integrale di una funzione lungo una curva).
– campi vettoriali
– Integrale di un campo vettorialelungo un curva. Campi vettoriali e potenziali.
– Insiemi connessi, convessi, stellati, semplicemente connessi. Campi conservativi e irrotazionali.
– Superfici: definizioni, versore normale, piano tangente.
– Area di una superficie: definizione e calcolo.
– Integrali superficiali (integrale di una funzione su una superficie).
– Operatori differenziali: divergenza, rotore, gradiente. Relazioni tra gli operatori
differenziali.
– Orientazione di una superficie e del suo eventuale bordo.
– Formula di Gauss-Green: enunciati ed applicazioni.
– Formula di Stokes: enunciati ed applicazioni.