ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA | MAT/05 | LEZIONI | 48 |
|
Al termine del corso lo studente sarà in grado di padroneggiare e utilizzare gli strumenti dell'analisi in più variabili in particolare: calcolo differenziale, forme differenziali, integrali multipli, integrali su linee e superfici.
The students will develop a working knowledge of the differential and integral calculus in several variables.
Lo studente sarà in grado di svolgere esercizi riguardanti: studio di funzioni in più variabili, forme differenziali, calcolo di integrali multipli, calcolo di flussi su superfici, calcolo di integrali curvilinei.
The students will be able to prove the main theorems concerning the analysis in several variables. They will also be able to find extremals with and without constraints, to compute 2 and 3 dimensional integrals and to use in the appropriate way Gauss-Green and Stokes theorems.
Svolgimento di esercizi durante la prova scritta.
Final written and oral examination
Lo studente sarà in grado di scegliere gli strumenti più opportuni per risolvere i vari problemi dell'Analisi.
Svolgimento di esercizi durante la prova scritta
Final written and oral examination
Analisi Matematica in una variabile: calcolo differenziale, studio di funzioni, calcolo di integrali, studio di integrali impropri.
Main tools of differential and integral calculus in one variable.
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Advised
Teaching methods:
1. Elementi di topologia nello spazio euclideo.
1.1. Lo spazio euclideo. Prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
Distanza euclidea e disuguaglianza triangolare. Convergenza di successioni e successioni di Cauchy. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Funzioni continue. Composizione di funzioni continue.
1.2. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Chiusura, parte interna e frontiera di un insieme.
1.3. Insiemi compatti, compatti per successioni, insiemei chiusi e limitati. Funzioni continue su insiemi compatti: teorema di Weierstrass. Uniforme continuità e teorema di Cantor.
1.4. Insiemi connessi per archi. Aperti connessi per archi. Teorema del valore intermedio. Una funzione derivabile, definita su un aperto connesso per arhchi, e con gradienete nullo è costante.
2. Studio di funzioni di più variabili.
2.1. Limiti di funzioni. Limiti direzionali. Limiti di funzioni e coordinate polari. Limiti di funzioni e convergenza uniforme.
2.2. Funzioni differenziabili. Convergenza uniforme e interpretazione geometrica della differenziabilità. Esempi e controesempi sulla differenziabilità, derivabilità e continuità. Teorema del differenziale. Derivazione lungo curve regolari.
2.3. Derivate parziali di ordine superiore - teorema di Schwartz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Massimi e minimi relativi e assoluti. Punti di sella. Condizioni necessarie e sufficienti. Matrici semidefinite positive, semidefinite negative, definite positive, definite negative, indefinite.
Massimi e minimi sul bordo di un insieme regolare. Condizioni necessarie e sufficienti al primo e al secondo ordine. Vettore normale e vettore tangente al bordo di un insieme regolare.
2.4. Teorema della funzione implicita. Moltiplicatori di Largange. Massimi e minimi vincolati.
2.5. Funzioni differenziabili a valori vettoriali. Composizione di funzioni differenziabili. Formula per le derivate parziali della funzione composta. Diffeomorfismi tra insiemi aperti. Teorema della funzione inversa.
3. Forme differenziali e integrali curvilinei
3.1. Definizione e operazioni con le forme differenziali: somma e prodotto con una funzione.
Prodotto esterno. Differenziale di una funzione.
Derivata esterna di una forma differenziale.
Forme chiuse e forme esatte. Le forme esatte sono chiuse. Esempio di una forma chiusa che non è esatta.
3.2. Integrazione su curve. Integrazione di 1-forme su curve. Curve chiuse, semplici, regolari a tratti.
Concatenamento e curve opposte. Integrazione di forme esatte su curve chiuse. Integrazione di funzioni su curve. Integrale di una funzione continua su una curva.
Integrazione su curve equivalenti, opposte e concatenate. Lunghezza di una curva.
3.3. Teorema della derivazione sotto il segno dell'integrale.
Lemma di Poincaré sui rettangoli. Forme chiuse e forme esatte in aperti stellati.
Domini diffeomorfi e forme differenziali. Insiemi semplicemente connessi.
4. Integrazione.
4.1.Integrale di Riemann su un dominio rettangolare. Partizioni e somme di Riemann superiore e inferiore. Integrale di Riemann superiore e inferiore. Integrabilità delle funzioni continue su domini rettangolari. Teorema di Fubini su domini rettangolari. Definizione di integrale su un insieme limitato.
Domini normali. Integrabilità di una funzione continua su un dominio normale.
Teorema di Fubini in domini normali.
4.2. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza.
Orientazione in dimensione due. Curve che parametrizzano il bordo di un insieme in senso antiorario.
Formula di Stokes. Cambio di variabili in dimensione due. Integrazione in coordinate polari nel piano.
Integrazione su superfici parametriche. Formula di Stokes per le superfici.
Prodotto vettoriale in dimensione tre. Divergenza e rotore di un campo in dimensione tre.
Integrazione di funzioni su superfici. Teorema del rotore.
DIFFERENTIAL CALCULUS IN SEVERAL VARIABLES. Limits of functions. Continuity. Partial derivatives and directional derivatives. Differentiable functions and differential. Tangent hyperplane. Gradient. Sufficient conditions for the differentiability. Jacobian matrix. Differentiation of a composition of functions. Higher order derivatives. Taylor's formula. Extremals with and without constraints. INTEGRAL CALCULUS IN SEVERAL VARIABLES. Reduction formula. Change of variable formula. Area and volume computation. Generalized integrals. VECTOR FIELDS AND DIFFERENTIAL FORMS. Parametric curves. Lenght of a curve. Curvilinear integral. Vector fields and linear differential forms. Integration on closed paths. Conservative fields and exact forms. Surface integral of functions. Gauss-Green and Stokes theorems.
Dispense del corso sul sito http://www.velichkov.it/analisi2-fisica-2021-2022.html
Analisi Matematica II. Marcellini - Sbordone.
Analisi Matematica II. Fusco - Marcellini - Sbordone
Analisi Matematica II. Acerbi - Buttazzo
Analisi Matematica II, Schede ed Esercizi, autori Ghisi - Gobbino, editrice Esculapio
Scritto e orale.
Le modalità d'esame verranno aggiornate in base all'evolversi della situazione "covid"
https://people.dm.unipi.it/velichkov/analisi2-fisica-2021-2022.html
http://www.velichkov.it/teaching.html
