ECTS - University of Pisa
Fornire gli strumenti concettuali e tecnici per l'analisi di problemi ambientali.
Fornire gli strumenti informatici per simulare al calcolatore i modelli visti negli altri moduli e visualizzare i risultati.
Provide mathematical and technical tools for the analysis of environmental phenomena.
Provide computer tools to simulate the models seen in the other courses and visualize the results.
Esame scritto ed orale
Written and oral exam. To pass the exam, the student must demonstrate possessing the "knowledge" items described above.
Saper costruire modelli matematici da utilizzare come strumento di conoscenza e di supporto alle decisioni.
Saper utilizzare Matlab per effettuare semplici calcoli di algebra lineare, risolvere problemi di programmazione lineare, simulare il comportamento di modelli basati su equazioni differenziali, e visualizzare i risultati di tali simulazioni.
Ability to build a mathematical model as an instrument of knowledge and decision support.
Ability to use Matlab to perform simple linear algebra computations, solve linear programming problems, simulate models based on differential equations, and visualize the results of these simulations.
Prova scritta, orale e pratica nella quale si richiede la risoluzione di un modello tramite il programma Matlab.
Written and oral exam. To pass the exam, the student must demonstrate possessing the skills described above.
Esame scritto e orale. L'esame si considera superato se lo studente dimostra di essere in possesso delle capacità sopra elencate.
Strumenti di metodo e di calcolo base della geometria analitica, dell’algebra lineare e dell’analisi matematica di una variabile. In particolare: tutti i contenuti del corso di matematica del primo anno della laurea triennale.
Linear algebra, trigonometry, notions of functions of one variable.
Lezioni frontali, laboratorio informatico, e-learning con videolezioni per il terzo modulo su competenze informatiche.
Frontal and online lessons
Primo modulo (Nozioni preliminari di Analisi Matematica - 3 cfu):
1) Richiami sulle funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche e sul calcolo matriciale. Richiami sul calcolo degli integrali di funzioni di una variabile: integrazione per parti e cambiamento di variabile.
2) Funzioni di più variabili: norma euclidea, prodotto scalare, derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità, continuità, teorema del differenziale totale. Derivate successive: teorema di Schwarz, funzioni di classe C^k. Matrice Hessiana. Cenni sugli sviluppi in serie di Taylor e di Fourier.
3) Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili, punti stazionari, condizioni necessarie e sufficienti di ottimalità. Funzioni vettoriali di una variabile: generalità, continuità, derivabilità, regole di derivazione. Massimi e minimi vincolati: punti stazionari vincolati, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
4) Equazioni differenziali. Equazioni differenziali lineari. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Punti di equilibrio di un’equazione differenziale autonoma, stabilità dei punti di equilibrio. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti omogenee e non omogenee. Sistemi di equazioni differenziali lineari e non lineari. Discretizzazione di un sistema di equazione differenziali. Sistemi dinamici. Stabilità dei punti di equilibrio di un sistema dinamico.
Secondo modulo (Modellistica Ambientale - 6 cfu):
1) Problemi e modelli. Relazioni esistenti fra i modelli e la realtà. Considerazioni sui linguaggi utilizzabili per descrivere i modelli. Modelli matematici. Concetti introduttivi sulla struttura dei modelli e sulla simulazione.
2) Modelli basati sulla programmazione lineare. Fondamenti di programmazione lineare. Algoritmo del simplesso.
3) Programmazione lineare su grafi. Problemi di flusso su reti. Algoritmi risolutivi per problemi di programmazione lineare su grafi: il problema dell’albero dei cammini minimi, il problema del flusso massimo su una rete.
4) Modelli dinamici: modelli a tempo discreto e a tempo continuo. Formalizzazione di un modello continuo mediante equazioni differenziali. Un modello di crescita di una popolazione con tasso di natalità e mortalità costante. Modelli di crescita di una popolazione con tasso di natalità e mortalità dipendenti dal tempo. Un modello di crescita di una popolazione in presenza di risorse limitate con tasso di crescita dipendente dalla popolazione. La funzione logistica. Punti di equilibrio stabile e asintoticamente stabile. Estensioni dell’analisi: la funzione logistica in presenza di un ulteriore tasso di mortalità costante.
5) Dinamiche di crescita di due popolazioni. Modelli a due popolazioni basati su un sistema dinamico. Definizione e analisi della stabilità dei punti di equilibrio.I modelli preda-predatore di Lotka-Volterra: studio delle interazioni tra popolazioni di animali e/o di vegetazione coesistenti o in competizione fra di loro. Il modello preda-predatore nella variante di Samuelson.
6) Analisi di modelli per la descrizione di fenomeni quali la diffusione di inquinanti e la diffusione di epidemie.
7) Catene di Markov finite. Equazioni di Chapman-Kolmogorov. Proprietà asintotiche delle catene di Markov.
Terzo modulo ( Laboratorio - 3 cfu)
1) Sintassi base di Matlab: variabili, script, funzioni; istruzioni if, while, for.
2) Funzioni di gestione di vettori e matrici: indicizzazione con l’operatore “due punti”, length, size, concatenazione di vettori e matrici.
3) Funzioni di algebra lineare: prodotti matrici e vettore, soluzione di sistemi lineari con l’operatore backslash, autovalori con eig().
4) Soluzione di equazioni differenziali e sistemi (problemi ai valori iniziali), tra cui i modelli visti nella seconda parte del corso, con il metodo di Eulero esplicito e con ode45. Grafici quantità/tempo e grafici delle fasi per sistemi 2D.
First part (3 cfu):
1) Recall of preliminaries on trigonometry, exponential, logarithmic functions, matrix and integral calculus.
2) Multivariate functions: Euclidean norm, scalar product, partial derivatives, directional derivatives, differentiability, continuity, total differential theorem. Repeated derivatives: Schwarz's theorem, C^k functions. Hessian matrix. Relative maxima and minima for multivariate functions.
3) Constrained maxima and minima: constrained stationary points, geometric characterization for constraints in parametric form and expressed as a level curve: Lagrange multipliers.
4) Differential equations: first and second order linear equations. Differential equations with separable variables. Discretization. Dynamical systems. Stable and unstable equilibrium points. Linear and nonlinear systems of differential equations.
Second part (6 cfu):
1) Problems and models. Relations between models and real life. Remarks on languages used to describe models. Mathematical models. Introductive concepts on model stuctures and simulation.
2) Models based on linear programming. Basic concepts of linear programming. Simplex algorithm.
3) Linear programming on graphs. Network-flow models. Algoritms for linear programming on graphs.
4) Differential equations: continuos and discrete models. Models for population growth with constant rate of growth. Models for population growth with rate depending on time.A model for population growth in the presence of a limited amount of resources. Rate of growth depending on the population. The logistic function. Dynamical systems. Applications.
5) Second order differential equations. Linear differential equations with constant coefficients, homogeneous and non homogeneous. Applications to the analysis of dynamic growth of two populations. Lotka-Volterra and Samuelson models.
6) Applications to the analysis of pollution and epidemiological models.
7) Finite Markov chains. Chapman-Kolmogorov equations. Asymptotic behaviour of Markov chains.
Third part (3 cfu)
1) Basic Matlab syntax: variables, scripts, functions; if, while and for instructions.
2) Functions to handle matrices and vectors: indexing with the colon operator, length, size, concatenation
3) Linear algebra functions: matrix and vector products, backslash operator, eig()
4) Solution of differential equations and systems (IVPs), including the models seen in the second part, using the explicit Euler method and ode45. Graphs; phase plots for 2D systems.
Attend, or at least check the course website. The computer lab part is available through recorded lectures and students can assist also remotely.
Esame scritto orale con prova pratica di laboratorio.
http://pages.di.unipi.it/mastroeni/#mod (appunti, testi d'esame)
Piattaforma Microsoft Teams 587AA
http://pages.di.unipi.it/mastroeni/#mod (slides,exam texts)
Lab course as recorded lectures:
https://elearning.di.unipi.it/course/view.php?id=205
