View syllabus
HOLOMORPHIC DYNAMICS
FABRIZIO BIANCHI
Academic year2023/24
CourseMATHEMATICS
Code106AA
Credits6
PeriodSemester 1
LanguageItalian

ModulesAreaTypeHoursTeacher(s)
DINAMICA OLOMORFA/aMAT/03LEZIONI42
FABRIZIO BIANCHI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Risultati principali della dinamica olomorfa di una variabile, riguardanti insiemi di Fatou e Julia e l'insieme di Mandelbrot.

Knowledge

Main results in holomorphic dynamics in one complex variable, about Fatou and Julia sets and the Mandelbrot set.

Modalità di verifica delle conoscenze

La verifica dell'acquisizione delle conoscenze avverrà tramite l'esposizione orale di argomenti trattati nel corso o vicini ad argomenti trattati nel corso, esposizione che lo studente dovrà fare nell'esame orale.

Assessment criteria of knowledge

Final oral exam consisting in the exposition of a topic closely related to the content of the course.

Capacità

Conoscere e saper dimostrare teoremi di dinamica olomorfa.

Skills

Knowing and being able to prove theorems in holomorphic dynamics.

Modalità di verifica delle capacità

L'esame orale finale comprenderà anche la presentazione di dimostrazioni di teoremi di dinamica olomorfa, in modo da verificare le abilità dimostrative acquisite.

Assessment criteria of skills

Final oral exam where the student will need to present and prove theorems of holomorphic dynamics.

Comportamenti

Affinare ulteriormente le proprie abilità nel seguire, verificare ed elaborare autonomamente ragionamenti matematici di media difficoltà, in particolare nel campo della dinamica olomorfa.

Behaviors

The student will better their own abilities in understanding, verifying and creating mathematical arguments of a medium level of difficulty, particularly in the field of holomorphic dynamics.

Modalità di verifica dei comportamenti

Tramite gli interventi in classe e la presentazione di un seminario finale su un argomento affine a quelli trattati.

Assessment criteria of behaviors

Via class discussions and a final talk by the student on a topic similar to the ones treated in class.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Le basi di analisi complessa in una variabile.

Prerequisites

Basics of complex analysis in one variable.

Indicazioni metodologiche

Erogazione: frontale

Attività di studio:

  • seguire le lezioni
  • studio individuale

Frequenza: non obbligatoria

Metodi didattici: lezioni

Teaching methods

Delivery: face to face

Learning activities:

  • attending lectures
  • individual study

Attendance: Not mandatory

Teaching methods:

  • Lectures
Programma (contenuti dell'insegnamento)

La Dinamica Olomorfa (discreta) è lo studio dei sistemi dinamici generati dall'iterazione di mappe olomorfe su varietà complesse. Ha avuto origine dal problema della linearizzazione dei germi analitici nel XIX secolo e dai lavori di Fatou e Julia all'inizio del XX secolo. È oggi un'area di ricerca molto attiva, al crocevia tra analisi complessa, teoria ergodica, teoria dei frattali e della dimensione, e con forti e fruttuose connessioni con la geometria complessa e algebrica, l'aritmetica e la teoria dei numeri, la dinamica reale, la probabilità, la geometria differenziale.

L'obiettivo di questo corso è di presentare un'introduzione a questo argomento, sia dal punto di vista locale che da quello globale. Ci concentreremo principalmente sullo studio dell'iterazione di polinomi su C e di mappe razionali sulla sfera di Riemann. In questo caso si può decomporre lo spazio delle fasi in due parti definite dinamicamente: l’insieme di Fatou, dove le orbite sono stabili per una piccola perturbazione del punto di partenza, e l’insieme di Julia, dove una piccola perturbazione del punto dà luogo ad una cambiamento drastico nella dinamica. L'insieme Julia è un insieme frattale, cioè un insieme con notevole autosomiglianza.

Nella prima parte del corso tratteremo i seguenti argomenti:

  • Famiglie normali, Teorema di Montel;
  • Insiemi di Fatou e Julia: definizioni, esempi;
  • Struttura dell'insieme di Fatou: linearizzazione in prossimità di punti di attrazione, componenti di Fatou, classificazione delle componenti periodiche;
  • Struttura dell'insieme Julia: geometria frattale, connessione, densità di punti periodici repulsivi.

Allo stesso modo in cui si possono definire gli insiemi di Fatou e Julia considerando l'effetto sulle orbite della perturbazione del punto di partenza, si può anche studiare come, data una famiglia di mappe, la dinamica globale dipenda dalla specifica mappa. Nel caso della famiglia più semplice f_c (z) = z^2 + c, l'insieme di Mandelbrot è l'insieme di parametri in cui la dinamica globale è molto sensibile ad una perturbazione del parametro. Anche l'insieme di Mandelbrot è un insieme frattale, particolarmente complicato: ha dimensione di Hausdorff 2, e al suo interno sono dense piccole copie dell'insieme di Mandelbrot. Una comprensione completa dell'insieme di Mandelbrot e della sua geometria non è stata ancora raggiunta ed è tra le principali questioni aperte nel campo.

In questa direzione tratteremo i seguenti argomenti:

  • Famiglie olomorfe di polinomi e applicazioni razionali;
  • Stabilità e biforcazioni: definizioni ed esempi;
  • Caratterizzazioni di stabilità; stabilità strutturale, iperbolicità;
  • Proprietà dei luoghi di biforcazione e dell'insieme di Mandelbrot.

Nell'ultima parte del corso si studieranno gli insiemi di Julia ed i luoghi di biforcazione dal punto di vista della teoria ergodica, anche mediante tecniche di teoria del potenziale. Tratteremo i seguenti argomenti:

  • Funzioni subarmoniche ed elementi di teoria del potenziale nel piano
  • Teoria ergodica degli insiemi di Julia: la misura di Green e le sue prime proprietà
Syllabus

(Discrete) Holomorphic Dynamics is the study of the dynamical systems generated by the iteration of holomorphic self-maps on complex manifolds. It originated from the problem of the linearization of analytic germs in the XIX century, and from the works of Fatou and Julia at the beginning of the XX century. It is today a very active area of research, at the crossroad between complex analysis, ergodic theory, and fractal and dimension theory, and with strong and fruitful connections with complex and algebraic geometry, arithmetic and number theory, real dynamics, probability, differential geometry.

The goal of this course is to present an introduction to this domain, both from the local and the global points of view. We will mostly focus on the study of the iteration of polynomials on C and rational maps on the Riemann Sphere. In this case, one can decompose the phase space into two dynamically defined parts: the Fatou set, where the orbits are stable by a small perturbation of the starting point, and the Julia set, where a small perturbation of the point gives rise to a drastic change in the dynamics. The Julia set is a fractal set, i.e., a set with remarkable self-similarity.

In the first part of the course, we will cover the following topics:

  •   Normal families, Montel Theorem;
  •   Fatou and Julia sets: definitions, examples;
  •   Structure of the Fatou set: linearization near attracting points, Fatou components, classification of periodic components;
  •   Structure of the Julia set: fractal geometry, connectivity, density of repelling periodic points.

In the same way as one can define the Fatou and Julia sets by considering the effect on orbits of the perturbation of the starting point, one can also study how, given a family of maps, the global dynamics depends on the specific map. In the case of the simplest family f_c (z) = z^2 + c, the Mandelbrot set is the set of parameters at which the global dynamics is very sensitive to a perturbation of the parameter. The Mandelbrot set is also a complicated fractal set: it has Hausdorff dimension 2, and small copies of the Mandelbrot set are dense in it. A complete understanding of the Mandelbrot set and its geometry are not achieved yet, and are among the main open questions in the field.

In this direction, we will cover the following topics:

  •   Holomorphic families of polynomials and rational maps;
  •   Stability and bifurcations: definitions and examples;
  •   Characterizations of stability; structural stability, hyperbolicity;
  •   Properties of bifurcation loci and of the Mandelbrot set.

In the last part of the course, we will study Julia sets and bifurcation loci from the point of view of ergodic theory, also by means of potential theory techniques. We will cover the following topics:

  • Subharmonic functions and elements of potential theory in the plane 
  • Ergodic theory of Julia sets: the Green measure and its first properties
Bibliografia e materiale didattico
  • A. Beardon, Iteration of Rational Functions, Graduate Texts in Mathematics, 132, Springer-Verlag, New York, 1991.
  • F. Berteloot F., V. Mayer, Rudiments de dynamique holomorphe, Paris, EDP Sciences, Les Ulis, 2001.
  • L. Carleson, T. Gamelin, Complex Dynamics, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1993.
  • T.-C. Dinh, N. Sibony, Dynamics in several complex variables: endomorphisms of projective spaces and polynomial-like mappings, Lecture Notes in Math., 1998, Springer, Berlin, 2010.
  • J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, Princeton University Press, Princeton, 2006.
Bibliography
  • A. Beardon, Iteration of Rational Functions, Graduate Texts in Mathematics, 132, Springer-Verlag, New York, 1991.
  • F. Berteloot F., V. Mayer, Rudiments de dynamique holomorphe, Paris, EDP Sciences, Les Ulis, 2001.
  • L. Carleson, T. Gamelin, Complex Dynamics, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1993.
  • T.-C. Dinh, N. Sibony, Dynamics in several complex variables: endomorphisms of projective spaces and polynomial-like mappings, Lecture Notes in Math., 1998, Springer, Berlin, 2010.
  • J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, Princeton University Press, Princeton, 2006.
Modalità d'esame

Esame orale finale con svolgimento di breve seminario su un argomento a scelta dello studente fra una lista di temi proposti dal docente.

Assessment methods

Final oral exam consisting in a talk given by the student on a topic chosen among a list proposed by the lecturer.

Updated: 11/12/2023 12:45