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ULTRAFILTERS AND NONSTANDARD METHODS
MAURO DI NASSO
Academic year2023/24
CourseMATHEMATICS
Code230AA
Credits6
PeriodSemester 1
LanguageItalian

ModulesAreaTypeHoursTeacher(s)
ULTRAFILTRI E METODI NONSTANDARD/aMAT/01LEZIONI42
MAURO DI NASSO unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo studente che completerà con successo il corso conoscerà i risultati fondamentali della teoria aritmetica di Ramsey e una selezione rappresentativa dei risultati piu' rilevanti nell'ambito della combinatoria dei numeri interi che studia proprieta' che dipendenti dalla densita' asintotica. Inoltre, conoscerà le nozioni di base dell'analisi non standard e dell'algebra sugli ultrafiltri, e sarà in grado di applicarle per affrontare problemi in combinatoria dei numeri. lnfine, lo studente conoscera' alcuni dei problemi aperti piu' rilevanti nell'ambito della teoria aritmetica di Ramsey e della combinatoria infinita degli interi.

Knowledge

The student who successfully completes the course will know the basic results of Ramsey's arithmetic theory and a representative selection of the some among the most relevant density-dependent results in combinatorics of numbers. Moreover, he/she will know the basic tools of nonstandard analysis and algebra on ultrafilters, and will be able to apply them to tackle problems in combinatorics of numbers. Finally, the student will become acquainted with some of the most relevant open problems in the area of Ramsey arithmetic theory and infinite integer combinatorics.

Modalità di verifica delle conoscenze

Per l'accertamento delle conoscenze, durante il corso saranno assegnati esercizi. Gli studenti invieranno le soluzioni per email al docente. Alcuni esercizi particolarmente rilevanti saranno discussi a lezione con la partecipazione degli studenti.

Assessment criteria of knowledge

The student will be evaluated by means of problems that will be assigned during the course. Students will send email solutions to the teacher. Solutions to some particularly relevant problems will be discussed in class with student participation.

Capacità

Al termine del corso:

  • lo studente sarà in grado di applicare i metodi fondamentali dell'analisi nonstandard nella struttura discreta degli interi.
  • lo studente saprà utilizzare l'algebra dello spazio degli ultrafiltri su N per affrontare problemi di teoria di Ramsey dei numeri.

 

Skills

By the end of the course:

  • The student will be able to apply the fundamental methods of nonstandard analysis to the study of combinatorial properties of the integers.
  • The student will be able to use the algebra of the space of ultrafilters over N to attack problems in arithmetic Ramsey number theory.
Modalità di verifica delle capacità

Soluzione di problemi assegnati durante il corso.

Assessment criteria of skills

Solutions of problems assigned during the course.

 

Comportamenti

Al termine del corso:

  • lo studente sarà in grado di applicare i metodi fondamentali dell'analisi nonstandard nella struttura discreta degli interi.
  • lo studente saprà utilizzare l'algebra dello spazio degli ultrafiltri su N per affrontare problemi di teoria di Ramsey dei numeri.

 

Behaviors

By the end of the course:

  • The student will be able to apply the fundamental methods of nonstandard analysis to the study of combinatorial properties of the integers.
  • The student will be able to use the algebra of the space of ultrafilters over N to attack problems in arithmetic Ramsey number theory.
Modalità di verifica dei comportamenti

Soluzione di problemi assegnati durante il corso.

Assessment criteria of behaviors

Solutions of problems assigned during the course.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Nessun particolare pre-requisito, oltre alle nozioni generali di base fornite dal primo biennio del corso di studi in Matematica.

Prerequisites

No specific pre-requisites, other than the general basics provided by the first two-year course of study in Mathematics. All notions will be introduced from scratch.

Corequisiti

Nessun corequisito.

Co-requisites

No co-requisities.

Prerequisiti per studi successivi

Questo insegnamento non costituisce un requisito per corsi successivi.

Prerequisites for further study

This course is not a requirement for subsequent courses.

Indicazioni metodologiche

Lezioni frontali, seminari degli studenti. La frequenza e' fortemente raccomandata.

Teaching methods

Delivery: face to face

Learning activities:

  • attending lectures
  • individual study
  • Bibliography search

Attendance: Strongly advised

Teaching methods:

  • Lectures
Programma (contenuti dell'insegnamento)

Ultrafiltri e algebra nello spazio degli ultrafiltri. Teorema di Ramsey, Teorema di Hindman, Teorema di van der Waerden, Teorema di Rado e loro conseguenze. Metodi nonstandard: i numeri iperreali e ipernaturali. Teorema di Jin. Dinamica topologica discreta in combinatoria e teoria di Ramsey, e connessioni con i metodi nonstandard e l'algebra degli ultrafiltri. Selezione di argomenti alla frontiera della ricerca da concordare con gli studenti.

Syllabus

Ultrafilters and algebra in the space of ultrafilters. Ramsey's theorem, Hindman's theorem, van der Waerden's theorem, Rado's theorem and their consequences. Nonstandard methods: the hyperreal numbers and hypernatural numbers. Jin's Theorem. Discrete topological dynamics in combinatorics and Ramsey theory, and connections with nonstandard methods and ultrafilter algebra. Selection of topics at the research frontier to be agreed with students.

Bibliografia e materiale didattico

Mac Cutcheon, Elemental Methods in Ergodic Ramsey Theory

Hindman-Strauss, Algebra in the Stone-Cech compactification

Di Nasso-Goldblatt-Lupini, Nonstandard methods in Ramsey Theory and Combinatorial Number Theory

Dispense del docente.

Bibliography

Mac Cutcheon, Elemental Methods in Ergodic Ramsey Theory

Hindman-Strauss, Algebra in the Stone-Cech compactification

Di Nasso-Goldblatt-Lupini, Nonstandard methods in Ramsey Theory and Combinatorial Number Theory

Handouts.

Modalità d'esame

Modalita':

  • Soluzione di esercizi assegnati durante il corso.
  • Seminario finale su argomento concordato col docente.
  • Esame orale finale.

Maggiore sara' il numero di esercizi risolti correttamente dallo studente durante il corso su ciascuna delle parti fondamentali del programma, minore sara' la quantita' di domande e l'approfondimento della prova orale finale.

Assessment methods

Solution of problems assigned during the course. Final seminar. Final oral exam.

The greater the number of assigned exercises correctly solved by the student during the course on each of the core parts of the syllabus, the fewer questions and the less in-depth the final oral exam.

 

 

Updated: 04/08/2023 09:11