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METODI NUMERICI PER EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI
LUCA HELTAI
Academic year2023/24
CourseMATHEMATICS
Code795AA
Credits6
PeriodSemester 2
LanguageItalian

ModulesAreaTypeHoursTeacher(s)
METODI NUMERICI PER EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALIMAT/08LEZIONI42
LUCA HELTAI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Al termine del corso:

  • (Analisi Numerica e FEM) Gli studenti saranno in grado di dimostrare una conoscenza avanzata della soluzione numerica delle equazioni differenziali parziali, con particolare enfasi sui Metodi degli Elementi Finiti. Saranno capaci di esaminare criticamente e applicare vari approcci teorici e pratici per risolvere problemi complessi nei diversi domini applicativi.

  • (Programmazione e Implementazione) Gli studenti acquisiranno competenze pratiche nell'uso di linguaggi di programmazione come Python e C++ per l'implementazione di algoritmi FEM, preparandoli per applicazioni avanzate nella ricerca e nello sviluppo industriale.

  • (Stabilizzazione e Analisi degli Errori) Gli studenti comprenderanno i meccanismi di stabilizzazione come GLS e SUPG per equazioni di reazione-trasporto-diffusione e saranno in grado di condurre un'analisi degli errori a priori e a posteriori, implementando strategie di rifinitura adattativa della mesh basate su stime di errore.

  • (Problematiche Saddle Point e Applicazioni) Saranno in grado di affrontare problemi di punto sella e applicare la teoria di Babuška-Brezzi per l'approssimazione di elementi finiti misti, con applicazioni che vanno dalle equazioni di Darcy alle equazioni di Stokes, migliorando la loro capacità di trattare una varietà di problemi PDEs in campi come la meccanica dei fluidi e la geofisica.

Questi obiettivi di apprendimento assicurano che, al termine del corso, gli studenti abbiano una comprensione approfondita e pratica dei Metodi degli Elementi Finiti e delle loro applicazioni, oltre a una solida preparazione per affrontare sfide complesse nella soluzione numerica delle PDEs.

Knowledge

At the end of the course

  • (Numerical Analysis and FEM) Students will be able to demonstrate advanced knowledge in the numerical solution of partial differential equations, with particular emphasis on Finite Element Methods. They will be capable of critically examining and applying various theoretical and practical approaches to solve complex problems across different application domains.
  • (Programming and Implementation) Students will acquire practical skills in using programming languages such as Python and C++ for the implementation of FEM algorithms, preparing them for advanced applications in research and industrial development.
  • (Stabilization and Error Analysis) Students will understand stabilization mechanisms like GLS and SUPG for diffusion-transport-reaction equations and will be able to conduct both a priori and a posteriori error analysis, implementing adaptive mesh refinement strategies based on error estimates.
  • (Saddle Point Problems and Applications) They will be equipped to tackle saddle point problems and apply the Babuška-Brezzi theory for the approximation of mixed finite elements, with applications ranging from Darcy's equations to Stokes equations, enhancing their ability to address a variety of PDE problems in fields such as fluid mechanics and geophysics.

These learning objectives ensure that, by the end of the course, students have a thorough and practical understanding of Finite Element Methods and their applications, as well as a solid preparation for tackling complex challenges in the numerical solution of PDEs.

Modalità di verifica delle conoscenze

Per valutare l'acquisizione degli obiettivi stabiliti da parte degli studenti, verranno utilizzati i seguenti metodi e/o strumenti:

Valutazione Continua: Durante il corso, la comprensione e l'applicazione dei principi dell'analisi numerica e dei metodi degli elementi finiti (FEM) da parte degli studenti verranno valutate attraverso valutazioni periodiche durante il corso. Queste possono includere compiti di programmazione pratica e presentazioni di progetti. Queste valutazioni mirano a misurare la presa degli studenti sui concetti teorici e la loro capacità di applicare questi concetti per risolvere problemi pratici.

Implementazioni Pratiche e Progetti: Gli studenti intraprenderanno progetti individuali o di gruppo che coinvolgono l'implementazione di algoritmi FEM in Python o C++. I progetti serviranno come applicazione diretta dei contenuti del corso, permettendo agli studenti di dimostrare le loro competenze di programmazione e la loro comprensione dei meccanismi di stabilizzazione, dell'analisi degli errori e dell'applicazione dei FEM a problemi reali. I progetti saranno rivisti e discussi in classe così come in incontri tra gli studenti e l'insegnante, fornendo un'opportunità per feedback e un'esplorazione più approfondita degli argomenti.

Esame Orale: Un esame orale permetterà agli studenti di articolare la loro comprensione dei contenuti del corso e dimostrare la loro capacità di integrare e applicare vari concetti appresi durante il corso.

Sessioni di Peer Review: Come parte dell'approccio di apprendimento collaborativo del corso, gli studenti parteciperanno a sessioni di peer review, presentando i loro progetti e ricevendo feedback costruttivo dai loro pari. Questo processo aiuterà gli studenti a rifinire le loro competenze analitiche, di programmazione e di presentazione, così come ad approfondire la loro comprensione della materia attraverso la discussione e la critica.

Assessment criteria of knowledge


To assess the acquisition of the established objectives by the students, the following methods and/or tools will be utilized:
Ongoing Assessment: Throughout the course, students' understanding and application of numerical analysis and finite element methods (FEM) principles will be evaluated through periodic in-course assessments. These may include practical programming assignments and project presentations. These assessments aim to gauge students' grasp of theoretical concepts and their ability to apply these concepts to solve practical problems.
Practical Implementations and Projects: Students will undertake individual or group projects involving the implementation of FEM algorithms in Python or C++. The projects will serve as a direct application of the course content, allowing students to demonstrate their programming skills and their understanding of stabilization mechanisms, error analysis, and the application of FEM to real-world problems. The projects will be reviewed and discussed in class as well as in meetings between the students and the instructor, providing an opportunity for feedback and deeper exploration of the topics.
Oral Examination: An oral examination will enable students to articulate their understanding of the course content and demonstrate their ability to integrate and apply various concepts learned throughout the course.
Peer Review Sessions: As part of the course's collaborative learning approach, students will participate in peer review sessions, presenting their projects and receiving constructive feedback from their peers. This process will help students refine their analytical, programming, and presentation skills, as well as deepen their understanding of the subject matter through discussion and critique.

Capacità

Al termine del corso:

  • Gli studenti sapranno utilizzare linguaggi di programmazione come Python e C++ per implementare algoritmi basati sui Metodi degli Elementi Finiti (FEM) per la soluzione di equazioni differenziali parziali.
  • Gli studenti saranno in grado di svolgere analisi teorica e pratica delle soluzioni di problemi PDE, applicando principi di analisi numerica, comprensione delle formulazioni deboli e ben poste, e applicando teoremi di convergenza.
  • Gli studenti saranno in grado di identificare e applicare tecniche di stabilizzazione appropriate, come GLS e SUPG, a problemi di reazione-trasporto-diffusione, migliorando l'accuratezza delle soluzioni numeriche.
  • Gli studenti saranno in grado di condurre analisi degli errori a priori e a posteriori per valutare la qualità delle soluzioni numeriche e implementare strategie di rifinitura adattativa della mesh basate su stime dell'errore.
  • Gli studenti saranno in grado di affrontare problemi di punto sella e comprendere l'applicazione della teoria di Babuška-Brezzi per l'approssimazione di elementi finiti misti, estendendo l'applicabilità dei FEM a una gamma più ampia di problemi PDE.
  • Gli studenti saranno in grado di collaborare efficacemente in team, presentare i loro progetti in sessioni di peer review, e comunicare i risultati delle loro ricerche e implementazioni attraverso relazioni scritte e presentazioni orali chiare e ben organizzate.
Skills

By the end of the course:

  • Students will know how to use programming languages such as Python and C++ to implement algorithms based on the Finite Element Methods (FEM) for solving partial differential equations.
  • Students will be able to perform both theoretical and practical analysis of PDE problem solutions, applying principles of numerical analysis, understanding weak and well-posed formulations, and applying convergence theorems.
  • Students will be able to identify and apply appropriate stabilization techniques, such as GLS and SUPG, to diffusion-transport-reaction problems, improving the accuracy of numerical solutions.
  • Students will be able to conduct a priori and a posteriori error analyses to assess the quality of numerical solutions and implement adaptive mesh refinement strategies based on error estimates.
  • Students will be able to tackle saddle point problems and understand the application of the Babuška-Brezzi theory for the approximation of mixed finite elements, extending the applicability of FEM to a broader range of PDE problems.
  • Students will be able to effectively collaborate in teams, present their projects in peer review sessions, and communicate the results of their research and implementations through clear and well-organized written reports and oral presentations.
Modalità di verifica delle capacità

Per valutare l'acquisizione delle competenze stabilite dagli studenti, verranno utilizzati i seguenti metodi e/o strumenti:

  1. Compiti di Programmazione: Durante le sessioni di laboratorio informatico, gli studenti completeranno piccoli progetti volti a comprendere l'uso dei linguaggi di programmazione come Python e C++ per l'implementazione degli algoritmi FEM. Questi compiti valuteranno direttamente la capacità degli studenti di applicare le loro competenze di programmazione per risolvere le equazioni differenziali parziali.

  2. Attività di Analisi Pratica: Gli studenti parteciperanno ad attività pratiche che richiedono l'analisi teorica e pratica delle soluzioni dei problemi PDE. Questo coinvolgerà l'uso dei principi di analisi numerica, formulazioni deboli e teoremi di convergenza. La capacità degli studenti di analizzare e applicare questi principi a problemi reali sarà valutata attraverso esercizi pratici e studi di caso.

  3. Relazioni di Analisi degli Errori: Agli studenti sarà richiesto di condurre analisi degli errori a priori e a posteriori su soluzioni numeriche date. Dovranno quindi creare relazioni che dettagliano i loro risultati, le stime degli errori e le strategie di rifinitura adattativa della mesh che raccomanderebbero. Questo valuterà la loro comprensione dell'analisi degli errori e la loro capacità di applicarla praticamente.

  4. Progetti di Gruppo: Gli studenti lavoreranno in gruppo su progetti che richiederanno la soluzione di PDEs di tipo diverso. I progetti di gruppo potranno culminare con una presentazione e/o un report comprensivo, consentendo agli studenti di dimostrare le loro abilità collaborative, le capacità di risoluzione dei problemi e la profondità di comprensione.

Questi metodi di valutazione sono progettati per fornire una valutazione comprensiva delle competenze pratiche degli studenti nella programmazione, analisi e applicazione dei metodi numerici per risolvere i PDE, così come la loro capacità di lavorare collaborativamente e comunicare efficacemente i loro risultati.

Assessment criteria of skills

To assess the acquisition of the established skills by the students, the following methods and/or tools will be utilized:

  1. Programming Assignments: During computer lab sessions, students will complete small projects aimed at understanding the use of programming languages such as Python and C++ for implementing FEM algorithms. These assignments will directly assess students' ability to apply their programming skills to solve partial differential equations.

  2. Practical Analysis Activities: Students will engage in practical activities that require the theoretical and practical analysis of PDE solutions. This will involve using numerical analysis principles, weak formulations, and convergence theorems. The students' capacity to analyze and apply these principles to real-world problems will be evaluated through hands-on exercises and case studies.

  3. Error Analysis Reports: Students will be tasked with conducting a priori and a posteriori error analyses on given numerical solutions. They will then create reports detailing their findings, the error estimates, and the adaptive mesh refinement strategies they would recommend. This will assess their understanding of error analysis and their ability to apply it practically.

  4. Group Projects: Students will work in teams on projects that involve tackling different PDE problems. The group projects may culminate in a presentation and a report, allowing students to demonstrate their collaborative skills, problem-solving abilities, and depth of understanding.

These assessment methods are designed to provide a comprehensive evaluation of the students' practical skills in programming, analysis, and application of numerical methods to solve PDEs, as well as their ability to work collaboratively and communicate their findings effectively.

Comportamenti

Attraverso il corso, si prevede che lo studente possa acquisire i seguenti comportamenti:

  • Sensibilità alle Implicazioni Pratiche e Teoriche: Lo studente potrà sviluppare una maggiore sensibilità e comprensione delle implicazioni pratiche e teoriche dell'analisi numerica e dei metodi degli elementi finiti, applicate a problemi reali in diversi ambiti scientifici e ingegneristici.

  • Gestione di Progetti Complessi: Lo studente acquisirà la capacità di gestire e condurre progetti complessi, comprendendo l'importanza della pianificazione, dell'organizzazione e della gestione del tempo, in particolare nei progetti di gruppo che richiedono la collaborazione tra diversi membri del team.

  • Approccio Critico e Analitico: Sarà incoraggiato e sviluppato un approccio critico e analitico alla risoluzione dei problemi, permettendo agli studenti di valutare in modo indipendente le soluzioni proposte, identificare le migliori strategie di risoluzione e applicare metodi di verifica e validazione delle soluzioni ottenute.

  • Capacità di Lavoro in Team: Lo studente svilupperà competenze interpersonali e di lavoro in team, imparando a comunicare efficacemente le proprie idee e risultati, sia oralmente che per iscritto, e a collaborare con altri per raggiungere obiettivi comuni.

  • Responsabilità Etica e Professionale: Verrà promossa la consapevolezza dell'importanza della responsabilità etica e professionale nello svolgimento di ricerche e nello sviluppo di soluzioni tecniche, includendo la considerazione delle implicazioni sociali, ambientali ed economiche delle tecnologie e delle metodologie applicate.

  • Precisione e Rigore nell'Analisi dei Dati: Gli studenti acquisiranno opportune accuratezza e precisione nello svolgere attività di raccolta, analisi e interpretazione dei dati, sviluppando competenze nell'uso di strumenti software avanzati per l'analisi numerica e la simulazione di sistemi complessi.

Questi comportamenti mirano a preparare gli studenti non solo a diventare professionisti competenti nel campo dell'analisi numerica e dei metodi degli elementi finiti ma anche a contribuire in modo responsabile e innovativo alla società e all'ambiente professionale in cui opereranno.

Behaviors

Through this course, students are expected to acquire the following behaviors:

  • Sensitivity to Practical and Theoretical Implications: Students will develop a heightened sensitivity and understanding of the practical and theoretical implications of numerical analysis and finite element methods applied to real-world problems across various scientific and engineering fields.

  • Management of Complex Projects: Students will gain the ability to manage and lead complex projects, understanding the importance of planning, organization, and time management, particularly in group projects that require collaboration among different team members.

  • Critical and Analytical Approach: A critical and analytical approach to problem-solving will be encouraged and developed, allowing students to independently assess proposed solutions, identify the best resolution strategies, and apply methods of verification and validation of obtained solutions.

  • Teamwork Skills: Students will develop interpersonal and teamwork skills, learning to effectively communicate their ideas and results, both orally and in writing, and to collaborate with others to achieve common goals.

  • Ethical and Professional Responsibility: Awareness of the importance of ethical and professional responsibility in conducting research and developing technical solutions will be promoted, including consideration of the social, environmental, and economic implications of the technologies and methodologies applied.

  • Accuracy and Rigor in Data Analysis: Students will acquire appropriate accuracy and precision in collecting, analyzing, and interpreting data, developing skills in using advanced software tools for numerical analysis and simulation of complex systems.

These behaviors aim to prepare students not only to become competent professionals in the field of numerical analysis and finite element methods but also to contribute responsibly and innovatively to society and the professional environment in which they will work.

Modalità di verifica dei comportamenti

Per valutare i comportamenti acquisiti dagli studenti, verranno utilizzati i seguenti metodi e/o strumenti:

  1. Sessioni di Laboratorio: Durante le sessioni di laboratorio, verrà valutato il grado di accuratezza e precisione delle attività svolte. Questo include la valutazione della completezza nell'analisi dei dati, l'implementazione dei metodi numerici e l'applicazione delle tecniche di stabilizzazione nei compiti di programmazione.

  2. Lavoro di Gruppo: Durante i progetti di gruppo, verranno verificate le modalità di definizione delle responsabilità, di gestione e organizzazione delle fasi progettuali. Questa valutazione si concentrerà sulla capacità degli studenti di collaborare efficacemente, comunicare le proprie idee e contribuire al raggiungimento degli obiettivi del progetto. Verranno fornite osservazioni e feedback sulla dinamica di lavoro di squadra, sugli approcci alla risoluzione dei problemi e sulle strategie di gestione del progetto.

  3. Attività Seminariali: Dopo le attività seminariali, agli studenti verranno richieste delle brevi relazioni concernenti gli argomenti trattati. Queste relazioni valuteranno la capacità degli studenti di sintetizzare le informazioni, articolare la propria comprensione di concetti complessi e riflettere criticamente sul contenuto del seminario.

  4. Presentazioni Orali: Le capacità di presentazione orale degli studenti verranno valutate durante le presentazioni dei progetti e le sessioni di peer review. Questo includerà la valutazione della loro capacità di presentare il proprio lavoro in modo chiaro e coerente, rispondere efficacemente alle domande e interagire costruttivamente con il feedback.

  5. Relazioni Scritte: Sarà valutata la qualità delle relazioni scritte presentate dagli studenti per i loro progetti. Questo comporterà valutare la chiarezza della comunicazione, la profondità dell'analisi, il rigore nella presentazione delle soluzioni e dei risultati, e la capacità di argomentare e giustificare le proprie scelte e conclusioni.

  6. Feedback tra Pari: Durante le sessioni di peer review, gli studenti forniranno e riceveranno feedback sui loro progetti. Questo processo valuterà la capacità degli studenti di impegnarsi in una critica costruttiva, dimostrare apertura al feedback e incorporare i suggerimenti nel loro lavoro.

Questi metodi di valutazione sono progettati per valutare in modo esaustivo l'acquisizione dei comportamenti desiderati dagli studenti, inclusi le competenze tecniche, il lavoro di squadra, la comunicazione e la responsabilità etica e professionale.

Assessment criteria of behaviors

To assess the behaviors acquired by the students, the following methods and/or tools will be utilized:

  1. Laboratory Sessions: During laboratory sessions, the degree of accuracy and precision in the activities carried out will be evaluated. This includes assessing the thoroughness of data analysis, the implementation of numerical methods, and the application of stabilization techniques in programming assignments.

  2. Group Work: During group projects, the methods of defining responsibilities, managing, and organizing project phases will be verified. This assessment will focus on students' ability to collaborate effectively, communicate their ideas, and contribute to achieving the project's objectives. Observations and feedback will be provided on teamwork dynamics, problem-solving approaches, and project management strategies.

  3. Seminar Activities: After seminar activities, students will be required to submit brief reports concerning the topics discussed. These reports will assess students' ability to synthesize information, articulate their understanding of complex concepts, and reflect critically on the seminar content.

  4. Oral Presentations: Students' oral presentation skills will be evaluated during project presentations and peer review sessions. This will include assessing their ability to present their work clearly and coherently, respond to questions effectively, and engage with feedback constructively.

  5. Written Reports: The quality of written reports submitted by students for their projects will be assessed. This will involve evaluating the clarity of communication, the depth of analysis, the rigor in presenting solutions and results, and the ability to argue and justify their choices and conclusions.

  6. Peer Feedback: During peer review sessions, students will provide and receive feedback on their projects. This process will assess students' ability to engage in constructive critique, demonstrate openness to feedback, and incorporate suggestions into their work.

These assessment methods are designed to comprehensively evaluate students' acquisition of the desired behaviors, including technical skills, teamwork, communication, and ethical and professional responsibility.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Per seguire il corso in modo proficuo, gli studenti dovrebbero possedere le seguenti conoscenze e abilità:

Conoscenze

  1. Matematica di Base: Comprendere i principi fondamentali di algebra, geometria e calcolo differenziale e integrale. Questo include una buona padronanza delle funzioni, delle derivate, degli integrali e delle serie.

  2. Analisi Matematica: Avere una solida comprensione dell'analisi matematica, in particolare riguardo ai concetti di limiti, continuità, e sviluppi in serie di Taylor, che sono fondamentali per l'apprendimento delle formulazioni deboli delle PDEs.

  3. Algebra Lineare: Conoscere i concetti di base dell'algebra lineare, inclusi vettori, matrici, sistemi di equazioni lineari, autovalori e autovettori, che sono essenziali per la comprensione della discretizzazione e della soluzione numerica delle PDEs.

Abilità/Capacità

  1. Competenze di Programmazione: Avere familiarità con almeno un linguaggio di programmazione, preferibilmente Python o C++, poiché il corso include componenti pratiche di implementazione degli algoritmi FEM.

  2. Capacità di Risoluzione dei Problemi: Essere in grado di applicare un approccio logico e critico alla risoluzione di problemi matematici e ingegneristici. Questo include la capacità di formulare ipotesi, svolgere deduzioni logiche e applicare metodi matematici per trovare soluzioni.

  3. Abilità Analitiche e Critiche: Possedere la capacità di analizzare testi scientifici e articoli di ricerca, comprendendo e valutando criticamente i metodi e i risultati presentati.

Altre Competenze Utili

  1. Fondamenti di Equazioni Differenziali: Avere una conoscenza di base delle equazioni differenziali ordinarie (ODE) e delle equazioni differenziali parziali (PDE), comprese le loro formulazioni e metodi di soluzione classici.

  2. Conoscenze di Fisica o Ingegneria: Per gli studenti provenienti da corsi di studio in fisica o ingegneria, è utile avere una comprensione dei principi fisici che spesso sono alla base dei problemi modellati con le PDEs.

Questi prerequisiti non solo facilitano l'apprendimento durante il corso ma anche permettono agli studenti di impegnarsi più profondamente con il materiale didattico, partecipare attivamente alle discussioni e ai laboratori, e ottenere il massimo beneficio dal corso.

Prerequisites

To follow the course effectively, students should possess the following knowledge and skills:

Knowledge

  1. Basic Mathematics: Understand fundamental principles of algebra, geometry, and differential and integral calculus. This includes a solid grasp of functions, derivatives, integrals, and series.

  2. Mathematical Analysis: Have a strong understanding of mathematical analysis, particularly concepts of limits, continuity, and Taylor series expansions, which are fundamental for learning weak formulations of PDEs.

  3. Linear Algebra: Know the basic concepts of linear algebra, including vectors, matrices, systems of linear equations, eigenvalues, and eigenvectors, essential for understanding the discretization and numerical solution of PDEs.

Skills/Capabilities

  1. Programming Skills: Be familiar with at least one programming language, preferably Python or C++, as the course includes practical components of implementing FEM algorithms.

  2. Problem-Solving Ability: Be capable of applying a logical and critical approach to solving mathematical and engineering problems. This includes the ability to formulate hypotheses, perform logical deductions, and apply mathematical methods to find solutions.

  3. Analytical and Critical Skills: Possess the ability to analyze scientific texts and research articles, understanding and critically evaluating the methods and results presented.

Other Useful Competencies

  1. Fundamentals of Differential Equations: Have basic knowledge of ordinary differential equations (ODEs) and partial differential equations (PDEs), including their formulations and classical solution methods.

  2. Physics or Engineering Knowledge: For students from physics or engineering backgrounds, it is helpful to have an understanding of the physical principles often underlying the problems modeled with PDEs.

These prerequisites not only facilitate learning during the course but also enable students to engage more deeply with the instructional material, actively participate in discussions and labs, and gain the maximum benefit from the course.

Corequisiti

Nessuno.

Co-requisites

None.

Prerequisiti per studi successivi

Nessuno.

Prerequisites for further study

None.

Indicazioni metodologiche

Modalità di Erogazione delle Lezioni

  • Lezioni: Condotta alla lavagna o con l'ausilio di diapositive PowerPoint quando necessario, video e dimostrazioni dal vivo per spiegare chiaramente concetti complessi. Gli aspetti teorici saranno interconnessi con applicazioni pratiche per migliorare la comprensione.
  • Uso di Ausili Visivi: Ampio uso di ausili visivi inclusi slide, video illustrativi e simulazioni in tempo reale per spiegare meglio i metodi degli elementi finiti e le loro applicazioni.

Esercitazioni in Aula/Laboratorio

  • Formazione dei Gruppi: Gli studenti formeranno gruppi per le sessioni di laboratorio, incoraggiando la collaborazione e l'apprendimento tra pari.
  • Utilizzo dell'Aula Informatica: Le esercitazioni di laboratorio verranno condotte in aule informatiche, dotate del software necessario per l'analisi FEM. Ove possibile, si incoraggiano gli studenti a usare i propri computer personali per installare e utilizzare ambienti di programmazione e strumenti pertinenti.
  • Progetti Pratici: Enfasi sull'implementazione pratica dei concetti appresi attraverso esercizi di codifica in Python o C++, e l'uso del software FEM.

Strumenti di Supporto

  • Siti Web e Risorse Online: Siti web consigliati, tutorial online e seminari integreranno i materiali didattici.
  • Piattaforma Elearning: Il sito elearning del corso fungerà da hub centrale per il download dei materiali didattici, la comunicazione tra studenti e docente, la pubblicazione di test per esercitazioni a casa e la formazione di gruppi di lavoro.

Interazione Studente-Docente

  • Orario di Ricevimento: Incontri programmati e politiche di porta aperta per affrontare quesiti individuali e fornire feedback sui compiti.
  • Email e Strumenti di Comunicazione: Uso attivo dell'email e, possibilmente, altre piattaforme di comunicazione (es. forum sulla piattaforma elearning) per domande al di fuori delle ore di lezione.

Progetti Didattici e Valutazioni

  • Progetti Didattici: Integrazione dell'apprendimento basato su progetti per incoraggiare l'applicazione dei metodi numerici alla soluzione di problemi del mondo reale.

Lingua di Istruzione

  • Approccio Bilingue: A seconda del pubblico, il corso potrebbe essere condotto parzialmente o interamente in inglese, specialmente per la terminologia tecnica e la letteratura scientifica.

Questo approccio multifacettato mira a dotare gli studenti di una profonda comprensione dei metodi numerici per le PDE, abilità pratiche in FEM e la capacità di applicare queste tecniche per risolvere problemi ingegneristici complessi, garantendo un'esperienza di apprendimento ricca e coinvolgente.

Teaching methods

Lecture Delivery

  • Lectures: Conducted on the blackboard, or with the aid of PowerPoint slides when necessary, videos, and live demonstrations to explain complex concepts clearly. The theoretical aspects will be interlinked with practical applications to enhance understanding.
  • Use of Visual Aids: Extensive use of visual aids including slides, illustrative videos, and real-time simulations to better explain the finite element methods and their applications.

Classroom/Laboratory Exercises

  • Group Formation: Students will form groups for laboratory sessions, encouraging collaboration and peer learning.
  • IT Classroom Utilization: Laboratory exercises will be conducted in IT classrooms, equipped with necessary software for FEM analysis. Where possible, students are encouraged to use their personal computers to install and use relevant programming environments and tools.
  • Hands-on Projects: Emphasis on practical implementation of learned concepts through coding exercises in Python or C++, and the use of FEM software.

Support Tools

  • Websites and Online Resources: Recommended websites, online tutorials, and seminars will supplement the learning materials.
  • Elearning Platform: The course's elearning site will serve as a central hub for downloading teaching materials, communication between students and the lecturer, publishing tests for home exercises, and forming workgroups.

Student-Instructor Interaction

  • Office Hours: Scheduled meetings and open-door policies for addressing individual queries and providing feedback on assignments.
  • Email and Communication Tools: Active use of email and possibly other communication platforms (e.g., forums on the elearning site) for questions outside of class hours.

Educational Projects and Assessments

  • Didactic Projects: Integration of project-based learning to encourage the application of numerical methods to solve real-world problems.

Language of Instruction

  • Bilingual Approach: Depending on the audience, the course might be conducted partially or entirely in English, especially for technical terminology and scientific literature.

This multifaceted approach aims to equip students with a deep understanding of numerical methods for PDEs, practical skills in FEM, and the ability to apply these techniques to solve complex engineering problems, ensuring a rich and engaging learning experience.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Preliminari

  • Ripasso sugli Elementi di Analisi Funzionale: Introduzione agli Spazi di Lebesgue, Spazi di Sobolev e disuguaglianze chiave. Esempi applicati che dimostrano la loro rilevanza nella risoluzione di problemi reali.
  • Ripasso sugli Elementi di Analisi Numerica: Nozioni di base su interpolazione, quadratura, tensorizzazione e la loro importanza nel FEM. Introduzione alle maglie e concetti fondamentali di algebra lineare per il FEM.

Formulazioni Deboli e Ben Poste

  • Proprietà Continue: Formulazione Debole dei Problemi Modello, Lemma di Lax–Milgram e Teorema di Banach–Nečas–Babuška (BNB).
  • Approssimazione di Galerkin: Comprensione della ben postezza discreta, Lemma di Cèa e stime di errore di base.

Introduzione agli Elementi Finiti

  • Elementi Finiti Locali: Studio dettagliato degli elementi finiti come triple e quadruple, regolarità della forma per maglie affini e laboratori pratici con software FEM.
  • Interpolazione degli Elementi Finiti: Lemma di Deny-Lion, Lemmi di Bramble–Hilbert e errori di interpolazione, inclusi sessioni di implementazione software.

Disuguaglianze Inverse e Funzionali

  • Disuguaglianze Locali e Globali: disuguaglianze inverse nelle celle e sulle facce, comprensione degli spazi spezzati, salti e disuguaglianze funzionali nelle maglie.

Analisi degli Errori a Priori

  • Problema Modello e Analisi degli Errori: Problemi ellittici con condizioni al contorno di Dirichlet/Robin/Neumann, regolarità ellittica e analisi degli errori in �1H1 e �2L2.

Meccanismi di Stabilizzazione

  • Equazioni di Diffusione-Trasporto-Reazione: ben postezza, diffusione in linea, GLS e SUPG, illustrando la loro necessità ed efficacia.

Analisi degli Errori A-posteriori e Adattività

  • Stima degli Errori e Adattività: Implementazione di strategie di affinamento adattativo della maglia basate su stime degli errori a-posteriori nei compiti di programmazione.

Crimini Variationali

  • Analisi degli Errori per Crimini Variationali: Analisi degli effetti dell'integrazione numerica e Lemmi di Strang.

Galerkin Discontinuo

  • Metodo di Nitsche e SIP: metodi di Galerkin discontinui, stabilità, ben postezza e analisi degli errori.

Problemi di Punto Sella Astratti

  • Problemi di Punto Sella e Approssimazione di Elementi Finiti Misti: Teorema di Babuška–Brezzi, formulazioni miste e approssimazioni di elementi finiti misti.

Darcy e Stokes

  • Moduli Applicativi: Moduli specializzati sulle equazioni di Darcy e Stokes, concentrandosi su formulazioni miste, elementi finiti �(���)H(div) e coppie stabili per le equazioni di Stokes, culminando in un progetto collaborativo.

Progetti e Seminari

  • Presentazioni degli Studenti: Progetti software (possibilmente in gruppi), seminari e presentazioni degli studenti.
Syllabus

Preliminaries

  • Recap on Elements of Functional Analysis: Introduction to Lebesgue Spaces, Sobolev Spaces, and key inequalities. Applied examples demonstrating their relevance in solving real-world problems.
  • Recap on Elements of Numerical Analysis: Basics of interpolation, quadrature, tensorization, and their importance in FEM. Introduction to meshes and linear algebra essentials for FEM.

Weak Formulations and Well-Posedness

  • Continuous Properties: Weak Formulation of Model Problems, Lax–Milgram Lemma and Banach–Nečas–Babuška (BNB) Theorem.
  • Galerkin Approximation: Understanding discrete well-posedness, Cèa's Lemma, and basic error estimates.

Introduction to Finite Elements

  • Local Finite Elements: Detailed study of finite elements as triples and quadruples, shape-regularity for affine meshes, and practical implementation sessions using FEM software.
  • Finite Element Interpolation: Deny-Lion Lemma, Bramble–Hilbert Lemmas and interpolation errors, including software implementation sessions.

Inverse and Functional Inequalities

  • Local and Global Inequalities: inverse inequalities in cells and on faces, understanding broken spaces, jumps, and functional inequalities in meshes.

A priori Error Analysis

  • Model Problem and Error Analysis: Elliptic problems with Dirichlet/Robin/Neumann boundary conditions, elliptic regularity, and error analysis in (H^1) and (L^2).

Stabilization Mechanisms

  • Diffusion-Transport-Reaction Equations: well-posedness, streamline diffusion, GLS, and SUPG, illustrating their necessity and effectiveness.

A-posteriori Error Analysis and Adaptivity

  • Error Estimation and Adaptivity: Implementing adaptive mesh refinement strategies based on a-posteriori error estimates in programming assignments.

Variational Crimes

  • Error Analysis for Variational Crimes: Analysis of numerical integration effects and Strang’s Lemmas

Discontinuous Galerkin

  • Nitsche’s Method and SIP: discontinuous Galerkin methods, stability, well-posedness, and error analysis.

Abstract Saddle Point Problems

  • Saddle Point Problems and Mixed Finite Element Approximation: Babuška–Brezzi Theorem, mixed formulations, and mixed finite element approximations.

Darcy and Stokes

  • Application Modules: Specialized modules on Darcy and Stokes equations, focusing on mixed formulations, (H(div)) finite elements, and stable pairs for Stokes equations, culminating in a collaborative project.

Projects and Seminars

  • Students presentations: Software projects (possibly in groups), seminars, and presentations from students.
Bibliografia e materiale didattico
  1. The Finite Element Method for Elliptic Problems
    Author: Philippe G. Ciarlet (1978)

  2. Theory and Practice of Finite Elements
    Authors: Alexandre Ern, Jean-Luc Guermond (2004)
    Access the book on Springer

  3. The Mathematical Theory of Finite Element Methods
    Authors: Susanne C. Brenner, L. Ridgway Scott (2008)
    Access the book on Springer

  4. Mixed Finite Element Methods and Applications
    Authors: Daniele Boffi, Franco Brezzi, Michel Fortin (2013)
    Access the book on Springer

Additional Resources

  • Video Lectures for "MATH 676: Finite element methods in scientific computing"
    Lecturer: Wolfgang Bangerth
    Watch the lectures
Bibliography
  1. The Finite Element Method for Elliptic Problems
    Author: Philippe G. Ciarlet (1978)

  2. Theory and Practice of Finite Elements
    Authors: Alexandre Ern, Jean-Luc Guermond (2004)
    Access the book on Springer

  3. The Mathematical Theory of Finite Element Methods
    Authors: Susanne C. Brenner, L. Ridgway Scott (2008)
    Access the book on Springer

  4. Mixed Finite Element Methods and Applications
    Authors: Daniele Boffi, Franco Brezzi, Michel Fortin (2013)
    Access the book on Springer

Additional Resources

  • Video Lectures for "MATH 676: Finite element methods in scientific computing"
    Lecturer: Wolfgang Bangerth
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Modalità d'esame

L'esame è composto da una prova orale (obbligatoria) e da una prova pratica (opzionale) che può consistere nella presentazione seminariale di materiale legato al corso, concordato con il docente, o nello svolgimento di un progetto (anche in piccoli gruppi), con relativo report associato.

In assenza di prova pratica e/o presentazione lo studente non può raggiungere la lode.

Modalità Operative dell'Esame

  • Prova Pratica: La prova pratica è opzionale e deve essere concordata con il docente. Gli studenti possono scegliere di presentare un progetto, realizzato individualmente o in piccoli gruppi, che includa lo sviluppo e l'implementazione di algoritmi FEM, analisi di dati o soluzione di problemi specifici utilizzando le tecniche apprese durante il corso. Alternativamente, possono optare per una presentazione seminariale su argomenti specifici del corso. Il lavoro svolto dovrà essere documentato in un report che sarà valutato come parte dell'esame.

  • Prova Orale: L'esame orale è obbligatorio per tutti gli studenti. Consiste in un colloquio tra lo studente e il docente (e possibilmente altri collaboratori del docente) dove verranno discusse le tematiche trattate durante il corso. Durante la prova orale, potrebbe essere richiesto allo studente di risolvere problemi o esercizi scritti, dimostrando la capacità di applicare concretamente le conoscenze acquisite.

Assessment methods

 

The exam consists of an oral test (mandatory) and a practical test (optional) that may involve the seminar presentation of course-related material agreed upon with the lecturer, or the completion of a project (also in small groups), with an associated report.

Without a practical test and/or presentation, the student cannot achieve honors.

Exam Operational Modes

  • Practical Test: The practical test is optional and must be agreed upon with the lecturer. Students can choose to present a project, carried out individually or in small groups, that includes the development and implementation of FEM algorithms, data analysis, or solving specific problems using the techniques learned during the course. Alternatively, they can opt for a seminar presentation on specific topics of the course. The work done must be documented in a report that will be evaluated as part of the exam.

  • Oral Test: The oral exam is mandatory for all students. It consists of an interview between the student and the lecturer (and possibly other collaborators of the lecturer) where the topics covered during the course will be discussed. During the oral test, the student may be asked to solve written problems or exercises, demonstrating the ability to practically apply the acquired knowledge.

Stage e tirocini

Non previsti.

Work placement

Not planned.

Altri riferimenti web
Additional web pages
Updated: 16/02/2024 14:34