ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| DINAMICA OLOMORFA/a | MAT/03 | LEZIONI | 42 |
|
Risultati principali della dinamica olomorfa di una variabile, riguardanti insiemi di Fatou e Julia e l'insieme di Mandelbrot.
Main results in holomorphic dynamics in one complex variable, about Fatou and Julia sets and the Mandelbrot set.
La verifica dell'acquisizione delle conoscenze avverrà tramite l'esposizione orale di argomenti trattati nel corso o vicini ad argomenti trattati nel corso, esposizione che lo studente dovrà fare nell'esame orale.
Final oral exam consisting in the exposition of a topic closely related to the content of the course.
Conoscere e saper dimostrare teoremi di dinamica olomorfa.
Knowing and being able to prove theorems in holomorphic dynamics.
L'esame orale finale comprenderà anche la presentazione di dimostrazioni di teoremi di dinamica olomorfa, in modo da verificare le abilità dimostrative acquisite.
Final oral exam where the student will need to present and prove theorems of holomorphic dynamics.
Affinare ulteriormente le proprie abilità nel seguire, verificare ed elaborare autonomamente ragionamenti matematici di media difficoltà, in particolare nel campo della dinamica olomorfa.
The student will better their own abilities in understanding, verifying and creating mathematical arguments of a medium level of difficulty, particularly in the field of holomorphic dynamics.
Tramite gli interventi in classe e la presentazione di un seminario finale su un argomento affine a quelli trattati.
Via class discussions and a final talk by the student on a topic similar to the ones treated in class.
Le basi di analisi complessa in una variabile.
Basics of complex analysis in one variable.
Erogazione: frontale
Attività di studio:
Frequenza: non obbligatoria
Metodi didattici: lezioni
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Not mandatory
Teaching methods:
La Dinamica Olomorfa (discreta) è lo studio dei sistemi dinamici generati dall'iterazione di mappe olomorfe su varietà complesse. Ha avuto origine dal problema della linearizzazione dei germi analitici nel XIX secolo e dai lavori di Fatou e Julia all'inizio del XX secolo. È oggi un'area di ricerca molto attiva, al crocevia tra analisi complessa, teoria ergodica, teoria dei frattali e della dimensione, e con forti e fruttuose connessioni con la geometria complessa e algebrica, l'aritmetica e la teoria dei numeri, la dinamica reale, la probabilità, la geometria differenziale.
L'obiettivo di questo corso è di presentare un'introduzione a questo argomento, sia dal punto di vista locale che da quello globale. Ci concentreremo principalmente sullo studio dell'iterazione di polinomi su C e di mappe razionali sulla sfera di Riemann. In questo caso si può decomporre lo spazio delle fasi in due parti definite dinamicamente: l’insieme di Fatou, dove le orbite sono stabili per una piccola perturbazione del punto di partenza, e l’insieme di Julia, dove una piccola perturbazione del punto dà luogo ad una cambiamento drastico nella dinamica. L'insieme Julia è un insieme frattale, cioè un insieme con notevole autosomiglianza.
Nella prima parte del corso tratteremo i seguenti argomenti:
Allo stesso modo in cui si possono definire gli insiemi di Fatou e Julia considerando l'effetto sulle orbite della perturbazione del punto di partenza, si può anche studiare come, data una famiglia di mappe, la dinamica globale dipenda dalla specifica mappa. Nel caso della famiglia più semplice f_c (z) = z^2 + c, l'insieme di Mandelbrot è l'insieme di parametri in cui la dinamica globale è molto sensibile ad una perturbazione del parametro. Anche l'insieme di Mandelbrot è un insieme frattale, particolarmente complicato: ha dimensione di Hausdorff 2, e al suo interno sono dense piccole copie dell'insieme di Mandelbrot. Una comprensione completa dell'insieme di Mandelbrot e della sua geometria non è stata ancora raggiunta ed è tra le principali questioni aperte nel campo.
In questa direzione tratteremo i seguenti argomenti:
Nell'ultima parte del corso si studieranno gli insiemi di Julia ed i luoghi di biforcazione dal punto di vista della teoria ergodica, anche mediante tecniche di teoria del potenziale. Tratteremo i seguenti argomenti:
(Discrete) Holomorphic Dynamics is the study of the dynamical systems generated by the iteration of holomorphic self-maps on complex manifolds. It originated from the problem of the linearization of analytic germs in the XIX century, and from the works of Fatou and Julia at the beginning of the XX century. It is today a very active area of research, at the crossroad between complex analysis, ergodic theory, and fractal and dimension theory, and with strong and fruitful connections with complex and algebraic geometry, arithmetic and number theory, real dynamics, probability, differential geometry.
The goal of this course is to present an introduction to this domain, both from the local and the global points of view. We will mostly focus on the study of the iteration of polynomials on C and rational maps on the Riemann Sphere. In this case, one can decompose the phase space into two dynamically defined parts: the Fatou set, where the orbits are stable by a small perturbation of the starting point, and the Julia set, where a small perturbation of the point gives rise to a drastic change in the dynamics. The Julia set is a fractal set, i.e., a set with remarkable self-similarity.
In the first part of the course, we will cover the following topics:
In the same way as one can define the Fatou and Julia sets by considering the effect on orbits of the perturbation of the starting point, one can also study how, given a family of maps, the global dynamics depends on the specific map. In the case of the simplest family f_c (z) = z^2 + c, the Mandelbrot set is the set of parameters at which the global dynamics is very sensitive to a perturbation of the parameter. The Mandelbrot set is also a complicated fractal set: it has Hausdorff dimension 2, and small copies of the Mandelbrot set are dense in it. A complete understanding of the Mandelbrot set and its geometry are not achieved yet, and are among the main open questions in the field.
In this direction, we will cover the following topics:
In the last part of the course, we will study Julia sets and bifurcation loci from the point of view of ergodic theory, also by means of potential theory techniques. We will cover the following topics:
Esame orale finale con svolgimento di breve seminario su un argomento a scelta dello studente fra una lista di temi proposti dal docente.
Final oral exam consisting in a talk given by the student on a topic chosen among a list proposed by the lecturer.
