ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| ULTRAFILTRI E METODI NONSTANDARD/a | MAT/01 | LEZIONI | 42 |
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Lo studente che completerà con successo il corso conoscerà i risultati fondamentali della teoria aritmetica di Ramsey e una selezione rappresentativa dei risultati piu' rilevanti nell'ambito della combinatoria dei numeri interi che studia proprieta' che dipendenti dalla densita' asintotica. Inoltre, conoscerà le nozioni di base dell'analisi non standard e dell'algebra sugli ultrafiltri, e sarà in grado di applicarle per affrontare problemi in combinatoria dei numeri. lnfine, lo studente conoscera' alcuni dei problemi aperti piu' rilevanti nell'ambito della teoria aritmetica di Ramsey e della combinatoria infinita degli interi.
The student who successfully completes the course will know the basic results of Ramsey's arithmetic theory and a representative selection of the some among the most relevant density-dependent results in combinatorics of numbers. Moreover, he/she will know the basic tools of nonstandard analysis and algebra on ultrafilters, and will be able to apply them to tackle problems in combinatorics of numbers. Finally, the student will become acquainted with some of the most relevant open problems in the area of Ramsey arithmetic theory and infinite integer combinatorics.
Per l'accertamento delle conoscenze, durante il corso saranno assegnati esercizi. Gli studenti invieranno le soluzioni per email al docente. Alcuni esercizi particolarmente rilevanti saranno discussi a lezione con la partecipazione degli studenti.
The student will be evaluated by means of problems that will be assigned during the course. Students will send email solutions to the teacher. Solutions to some particularly relevant problems will be discussed in class with student participation.
Al termine del corso:
By the end of the course:
Soluzione di problemi assegnati durante il corso.
Solutions of problems assigned during the course.
Al termine del corso:
By the end of the course:
Soluzione di problemi assegnati durante il corso.
Solutions of problems assigned during the course.
Nessun particolare pre-requisito, oltre alle nozioni generali di base fornite dal primo biennio del corso di studi in Matematica.
No specific pre-requisites, other than the general basics provided by the first two-year course of study in Mathematics. All notions will be introduced from scratch.
Nessun corequisito.
No co-requisities.
Questo insegnamento non costituisce un requisito per corsi successivi.
This course is not a requirement for subsequent courses.
Lezioni frontali, seminari degli studenti. La frequenza e' fortemente raccomandata.
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Strongly advised
Teaching methods:
Ultrafiltri e algebra nello spazio degli ultrafiltri. Teorema di Ramsey, Teorema di Hindman, Teorema di van der Waerden, Teorema di Rado e loro conseguenze. Metodi nonstandard: i numeri iperreali e ipernaturali. Teorema di Jin. Dinamica topologica discreta in combinatoria e teoria di Ramsey, e connessioni con i metodi nonstandard e l'algebra degli ultrafiltri. Selezione di argomenti alla frontiera della ricerca da concordare con gli studenti.
Ultrafilters and algebra in the space of ultrafilters. Ramsey's theorem, Hindman's theorem, van der Waerden's theorem, Rado's theorem and their consequences. Nonstandard methods: the hyperreal numbers and hypernatural numbers. Jin's Theorem. Discrete topological dynamics in combinatorics and Ramsey theory, and connections with nonstandard methods and ultrafilter algebra. Selection of topics at the research frontier to be agreed with students.
Mac Cutcheon, Elemental Methods in Ergodic Ramsey Theory
Hindman-Strauss, Algebra in the Stone-Cech compactification
Di Nasso-Goldblatt-Lupini, Nonstandard methods in Ramsey Theory and Combinatorial Number Theory
Dispense del docente.
Mac Cutcheon, Elemental Methods in Ergodic Ramsey Theory
Hindman-Strauss, Algebra in the Stone-Cech compactification
Di Nasso-Goldblatt-Lupini, Nonstandard methods in Ramsey Theory and Combinatorial Number Theory
Handouts.
Modalita':
Maggiore sara' il numero di esercizi risolti correttamente dallo studente durante il corso su ciascuna delle parti fondamentali del programma, minore sara' la quantita' di domande e l'approfondimento della prova orale finale.
Solution of problems assigned during the course. Final seminar. Final oral exam.
The greater the number of assigned exercises correctly solved by the student during the course on each of the core parts of the syllabus, the fewer questions and the less in-depth the final oral exam.
