Modulo di Algebra Lineare

• Tutto il precorso (in particolare polinomi, geometria analitica, trigonometria).
• Parte del corso di Analisi Matematica 1 (in particolare insiemi e funzioni, principio di induzione, numeri complessi).

Modulo di Analisi II 

Preliminari/Prerequisiti
– Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).
– Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, applicazioni lineari e prodotti scalari).

Modulo di Algebra Lineare

Spazi vettoriali ed applicazioni lineari.

• Campi e spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali.
• Dipendenza e indipendenza lineare, generatori, basi e componenti di un vettore rispetto ad una base, dimensione di uno spazio e di un sottospazio vettoriale. Span di un insieme di vettori.
• Somma ed intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di sottospazi e componenti di un vettore rispetto ad una somma diretta.
• Applicazioni lineari. Matrice associata ad un'applicazione lineare dopo aver scelto basi in partenza ed arrivo.
• Operazioni tra matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto tra matrici.  Trasposta ed inversa di una matrice. Calcolo della matrice inversa mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan e mediante la matrice dei cofattori.
• Matrici di cambio di base. Similitudine tra matrici.
• Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Teorema della dimensione. Legami tra iniettività, surgettività e dimensioni degli spazi di partenza ed arrivo per applicazioni lineari.
• Determinante di una matrice: definizione, principali proprietà, esistenza, unicità. Calcolo mediante l'algoritmo di Gauss e gli sviluppi di Laplace. Determinante della trasposta, dell'inversa, del prodotto.
• Rango di una matrice. Equivalenza tra R-rango, C-rango, D-rango. Calcolo del rango mediante i minori e mediante l'algoritmo di Gauss.
• Autovalori, autovettori, autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
• Polinomio minimo, polinomio caratteristico. Relazioni tra coefficienti del polinomio caratteristico, traccia, determinante, autovalori.
• Forme canoniche. Criteri di diagonalizzabilità sui reali e sui complessi. Forma canonica di Jordan sui reali e sui complessi.  Applicazioni e matrici simmetriche. Teorema spettrale.

    
Prodotti scalari e forme quadratiche

• Prodotto scalare canonico in R^n. Norma e distanza.
• Basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
• Matrici ortogonali.
• Ortogonale di un sottospazio. Proiezioni ortogonali su sottospazi.
• Forme quadratiche e matrici ad esse associate. Definizione di segnatura.
• Metodi per determinare la segnatura di una forma quadratica: completamento dei quadrati, segno degli autovalori, metodo di Sylvester (minori orlati), metodo di Cartesio (segno dei coefficienti del polinomio caratteristico).
• Prodotti scalari in generale e matrici ad essi associate. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
• Basi ortogonali ed ortonormali (e procedimento di ortogonalizzazione) rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo.
• Applicazioni simmetriche rispetto ad un generico prodotto scalare e proprietà delle matrici ad esse associate. Teorema spettrale rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo.

Geometria analitica

• Vettori geometrici nel piano, nello spazio, e più in generale in R^n.
• Geometria analitica nel piano.  Equazioni cartesiane e parametriche di rette.  Angoli e distanze.
• Geometria analitica nello spazio.  Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani.  Angoli e distanze tra rette e piani.
• Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi affini di R^n.
• Affinità e isometrie in R^n. Teorema di struttura delle isometrie in R^n.
• Isometrie nel piano e loro classificazione sulla base dei punti fissi. Rotazioni intorno a punti e simmetrie rispetto a rette.
• Isometrie nello spazio e loro classificazione sulla base dei punti fissi. Rotazioni intorno a rette e simmetrie rispetto a piani.

    
Sistemi lineari

• Scrittura di un sistema lineare in termini di matrici e vettori. Interpretazioni in termini di combinazioni lineari, Span, ed in termini di applicazioni lineari.
• Struttura generale dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare, omogeneo e non omogeneo.
• Matrici a scala e risoluzione di un sistema lineare mediante algoritmo di Gauss.
• Risolubilità di un sistema lineare e rango: teorema di Rouché-Capelli.
• Metodo di Cramer per sistemi lineari.

Modulo di Analisi II 

Preliminari/Prerequisiti
– Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).
– Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, matrici,
forme quadratiche).

Calcolo differenziale in più variabili
– Lo spazio Rn. Vettori e operazioni tra vettori. Norma, distanza, prodotto scalare.
– Funzioni di più variabili e loro grafico. Visualizzazione del grafico per funzioni di due variabili:
linee di livello e restrizione alle rette (o curve) passanti per un punto.
– Limiti e continuità per funzioni di più variabili.
– Derivate parziali e direzionali per una funzione di più variabili e loro significato geometrico.
– Differenziale per funzioni di più variabili e sua interpretazione geometrica in termini di (iper)piano tangente al grafico. Relazione tra le derivate direzionali e le derivate parziali per una funzione differenziabile. Gradiente e suo significato geometrico. Teorema del differenziale totale.
– Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell’ordine di derivazione. Formula di Taylor in due o più variabili (cenni).
– Massimi e minimi locali e globali per funzioni di più variabili.
– Matrice Hessiana e comportamento locale di una funzione in un intorno di un punto stazionario.
– Insiemi compatti in Rn. Teorema di Weierstass per funzioni di pi`u variabili.
– Massimi e minimi vincolati.
– Calcolo differenziale per funzioni da Rn ad Rm. Matrice Jacobiana.
– Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili e suo significato geometrico/fisico.
– Formula di riduzione di un integrale doppio a due integrali semplici mediante sezioni.
– Integrali tripli: formule di riduzione per sezioni e per colonne.
– Sfruttamento delle simmetrie per semplificare il calcolo di integrali doppi o tripli.
– Calcolo di aree, volumi e baricentri mediante integrali doppi e tripli.
– Coordinate polari nel piano. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Utilizzo delle
coordinate polari e sferiche per il calcolo di integrali multipli.
– Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi.
– Integrali impropri in più variabili: definizioni e studio della convergenza.
Curve, superfici, calcolo vettoriale
– Curve: definizione. Curve chiuse e semplici. Vettore, versore e retta tangente.
– Lunghezza di una curva: definizione e calcolo.
– Integrali curvilinei (integrale di una funzione lungo una curva).
– campi vettoriali
– Integrale di un campo vettorialelungo un curva. Campi vettoriali e potenziali.
– Insiemi connessi, convessi, stellati, semplicemente connessi. Campi conservativi e irrotazionali.
– Superfici: definizioni, versore normale, piano tangente.
– Area di una superficie: definizione e calcolo.
– Integrali superficiali (integrale di una funzione su una superficie).
– Operatori differenziali: divergenza, rotore, gradiente. Relazioni tra gli operatori
differenziali.
– Orientazione di una superficie e del suo eventuale bordo.
– Formula di Gauss-Green: enunciati ed applicazioni.
– Formula di Stokes: enunciati ed applicazioni.