Scheda programma d'esame
GEOMETRIA E TOPOLOGIA DIFFERENZIALE
ROBERTO FRIGERIO
Anno accademico2018/19
CdSMATEMATICA
Codice055AA
CFU6
PeriodoPrimo semestre

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
GEOMETRIA E TOPOLOGIA DIFFERENZIALEMAT/03LEZIONI60
ROBERTO FRIGERIO unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo studente dovrà maturare una solida conoscenza delle prime nozioni di geometria differenziale di curve e superfici, e delle nozioni fondamentali di topologia differenziale per varietà immerse. Dovrà inoltre conoscere i risultati fondamentali della teoria del grado in ogni dimensione e padroneggiarne alcune applicazioni (quali il teorema fondamentale dell'algebra, il teorema del punto fisso di Brower, il teorema di (non) pettinabilità delle sfere e il Teorema di Poincaré-Hopf).

 

 

Knowledge

The student who successfully completes the course will be able to demonstrate a solid knowledge of the elementary differential geometry of curves and surfaces in Euclidean space, as well as of the rudiments of degree theory in any dimension with applications (e.g. the Brower Fixed Point Theorem, the Hairy Ball Theorem and the Poincaré-Hopf Theorem).

Modalità di verifica delle conoscenze

Metodi:

  • Esame scritto finale.
  • Esame orale finale.

Nell'esame scritto lo studente dovrà dimostrare conoscere i risultati fondamentali sulla geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo. Durante l'esame orale, lo studente dovrà dimostrare di avere compreso a fondo gli elementi di topologia differenziale relativi alla teoria delle varietà di dimensione generica immerse nello spazio Euclideo, con particolare riferimento alla teoria del grado e alle sue applicazioni.

 

Assessment criteria of knowledge

Methods:

  • Final oral exam
  • Final written exam

In the written test the student must demonstrate his/her knowledge of the geometry of curves and surfaces in Euclidean spac. During the oral exam the student must be able to demonstrate his/her knowledge of the general theory of manifolds embedded in Euclidean space, as well as of degree theory and its applications.  

Capacità

Lo studente dovrà essere in grado di determinare curvatura e torsione di curve, e i vari tipi di curvatura delle superfici immerse nello spazio Euclideo. Inoltre, dovrà essere in grado di applicare il Teorema Egregium di Gauss ed il Teorema di Gauss-Bonnet a casi specifici. Infine, dovrà essere in grado di dimostrare tutti i risultati enunciati nel corso relativi alla teoria delle varietà e alla teoria del grado, e ad applicarli a casi specifici anche non trattati a lezione.

Skills

 The student must be able to compute the curvature and the torsion of a curve, and the various types of curvatures of a surface embedded in the standard Euclidean space. Moreover, he or she must be able to apply Gauss' Egregium Theorem and the theorem of Gauss-Bonnet to specific cases.  He or she will also develop a good insight into the basics of differential topology: for example, he or she will learn how to apply degree theory to obtain important results such as the fundamental theorem of algebra, Brouwer's fixed point theorem, the hairy ball theorem and the Poincaré-Hopf formula, and how to use these results to solve elementary exercises.

Modalità di verifica delle capacità

Metodi:

  • Esame scritto finale.
  • Esame orale finale.

Nell'esame scritto lo studente dovrà risolvere esercizi sulla geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo. mostrando di avere sviluppato le capacità sopra citate. Durante l'esame orale, lo studente dovrà dimostrare di avere compreso a fondo gli elementi di topologia differenziale relativi alla teoria delle varietà di dimensione generica immerse nello spazio Euclideo, con particolare riferimento alla teoria del grado e alle sue applicazioni; dovrà inoltre essere in grado di applicare tali risultati per risolvere brevi esercizi. 

Assessment criteria of skills

 Methods:

  • Final oral exam
  • Final written exam

In the written test the student must be able to solve some exercises on the geometry of curves and of surfaces in Euclidean space. During the oral exam the student must be able to discuss the reading material on degree theory and its applications thoughtfully, and he or she must also be able to solve some elementary exercises on these topics.

Comportamenti

Lo studente dovrà sviluppare la capacità di dialogare sui contenuti del corso sia con i propri compagni sia con il docente utilizzando un linguaggio adeguato alla materia, ovvero conciso, rigoroso ed espressivo.

Behaviors

The student must develop the ability of discussing the reading material both with his/her mates and with the teacher using a rigorous mathematical language. 

Modalità di verifica dei comportamenti

L'esame orale sarà la sede privilegiata di verifica dei comportamenti sopra citati.

Assessment criteria of behaviors

The oral exam will be the best suited moment to evaluate the behaviors mentioned above.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Topologia generale. Elementi di topologia algebrica (gruppo fondamentale e rivestimenti). Calcolo in una e più variabili. 

Prerequisites

General Topology. Elements of algebraic topology (fundamental group and covering theory). Calculus of several variables.

Indicazioni metodologiche

Metodo di insegnamento

  • Lezioni frontali

Frequenza: consigliata

 

Teaching methods

 Teaching methods:

  • Lectures

Delivery: face to face

Attendance: Advised

 

 

Programma (contenuti dell'insegnamento)
  1. Curve: supporto, parametrizzazione, riparametrizzazione, lunghezza d'arco. Curve regolari e biregolari. Orientazione di spazi vettoriali e prodotto vettore. Riferimento di Frenét, curvatura, torsione. Teorema fondamentale delle curve.
  2. Richiami su mappe lisce tra aperti di spazi Euclidei. Mappe lisce tra sottoinsiemi generici di spazi Euclidei. Cono e spazio tangente. Differenziale. Varietà, parametrizzazioni locali, carte, atlanti. Caratterizzazione locale di immersioni e sommersioni. Gruppi di Lie. Topologia di alcuni gruppi di matrici. Orientabilità (con particolare attenzione al caso delle ipersuperfici). 
  3. Teoria metrica delle superfici. I e II forma fondamentale, mappa di Gauss, curvature e direzioni principali, curvatura normale di curve, curvatura di Gauss. Locali isometrie e grandezze intrinseche. Simboli di Christoffel. Teorema Egregium. Campi lungo curve e derivata covariante. Flusso di campi vettoriali e parametrizzazioni ortogonali. Geodetiche: definizione, esistenza e unicità locali. Teorema di Clairaut. Caratteristica di Eulero-Poincaré. Teorema di Gauss-Bonnet locale e globale.
  4. Teoria del grado e applicazioni: Diffeomorfismi locali e rivestimenti. Teorema fondamentale dell'algebra. Classificazione delle 1-varietà. Lemma di Sard (senza dimostrazione). Omotopie e isotopia. Teorema di non retrazione. Teorema di Brower. Grado intero: definizione e proprietà. Pettinabilità delle sfere. Definizione di indice per zeri isolati di campi vettoriali. Lemma di Hopf. Fibrato normale e intorno tubolare. Teorema di Poincaré-Hopf.  
Syllabus
  1. Curves in three--dimensional Euclidean space. Arclength parametrization. Regular and biregular curves. Orientation of vector spaces and cross product. Frenet frame, curvature and torsion. The fundmental Theorem of curves.
  2. Smooth maps between subsets of the Euclidean space in arbitrary dimensions. Tangent cone and tangent space. The differential of a map. Manifolds, local parametrizatons, charts, atlases. Characterization of local immersions and of local submersions. Lie groups. Some matrix groups. Orientability.
  3. Metric properties of surfaces. The first fundamental form, the Gauss map and the second fundamental form. Principal directions, principal curvatures, Gauss curvature. Local isometries and intrinsic quantities. The Crhistoffel symbols. Gauss's Theorema Egregium. Flows of vector fields and existence of orthogonal parametrizations. Covariant differentiation, parallel translation and geodesics. The Euler characteristic. Local and global Gauss--Bonnet theorem. 
  4. Degree theory and applications. Local diffeomorphisms and smooth coverings. The fundamental Theorem of algebra. Classification of 1-manifolds. Sard's Lemma (without proof). Homotopy and isotopy of maps. The non-retraction Theorem. The Brower fixed point Theorem. The degree of a map. The hairy ball Theorem. The index of an isolated zero of a vector field. The Hopf Lemma. the normal bundle and the tubular neighbourhood. The Poincaré-Hopf Theorem.

 

Bibliografia e materiale didattico

M. P. Do Carmo, "Differential geometry of curves and surfaces"

T. Shifrin, "DIFFERENTIAL GEOMETRY: A First Course in Curves and Surfaces", available at http://alpha.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf 

J. Milnor, "Topology from the differentiable viewpoint"

 

Bibliography

M. P. Do Carmo, "Differential geometry of curves and surfaces"

T. Shifrin, "DIFFERENTIAL GEOMETRY: A First Course in Curves and Surfaces", available at http://alpha.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf 

J. Milnor, "Topology from the differentiable viewpoint"

Modalità d'esame

Per superare l'esame, ogni studente dovrà superare sia un esame scritto nel quale è richiesta la risoluzione di esercizi sulla geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo, sia un esame orale che verte sulla teoria generale delle varietà e sugli elementi di topologia differenziale trattati nel corso. 

Assessment methods

Every student must pass both a written examination (where he or she must solve some exercises on the geometry of curves and surfaces in Euclidean 3-space) and an oral exam about the general theory of manifolds in every dimension, and the elements of differential topology that are treated in the course.

Ultimo aggiornamento 31/07/2018 19:01