Scheda programma d'esame
TOPOLOGIA E GEOMETRIA IN BASSA DIMENSIONE
PAOLO LISCA
Anno accademico2019/20
CdSMATEMATICA
Codice228AA
CFU6
PeriodoPrimo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
TOPOLOGIA E GEOMETRIA IN BASSA DIMENSIONEMAT/03LEZIONI42
PAOLO LISCA unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze
  • Primi invarianti di concordanza
  • Gruppi di concordanza classici
  • Gruppo di concordanza algebrico
  • Esempi di nodi algebricamente, topologicamente e lisciamente slice
  • Rivestimenti ciclici ramificati e non, forme di allacciamento
  • Rivestimenti ramificati della 4-palla, forme d'intersezione, ostruzioni slice
  • Invarianti di Casson-Gordon
  • Metodi 4-dimensionali nello studio della concordanza
Knowledge
  • Basic concordance invariants
  • Classical concordance groups
  • Algebraic concordance group
  • Examples of algebraically, topologically and smoothly slice knots
  • Cyclic (branched) covers, linking forms
  • Ramified covers of the 4-ball, intersection forms, slice obstructions
  • Casson-Gordon invariants
  • 4-dimensional methods in the study of concordance
Modalità di verifica delle conoscenze

Agli studenti verrà richiesto di applicare le conoscenze acquisite alla comprensione di lavori della letteratura specializzata sulla concordanza. 

Assessment criteria of knowledge

Students will be required to apply the acquired knowledge to understand works from the specialized literature on concordance.

Capacità
  • Calcolare vari tipi di invarianti di concordanza
  • Stabilire se nodi semplici sono slice o ribbon, o se esistono concordanze tra due di essi
  • Applicare costruzioni 4-dimensionali a problemi di concordanza
  • Comprendere alcuni articoli della letteratura specializzata sulla concordanza
Skills
  • Compute various kinds of concordance invariants
  • Establish whether simple knots are slice or ribbon, or whether two of them are concordant
  • Apply 4-dimensional techniques to concordance problems
  • Understand some works of the specialized literature on concordance
Modalità di verifica delle capacità

Verrà chiesto agli studenti di stabilire, in alcuni semplici esempi, l'esistenza di concordanze, e di comprendere alcuni lavori della letteratura specializzata sulla concordanza.  

Assessment criteria of skills

The students will be required to establish, in some simple cases, the existence of concordances, and to understand some works from the specialized literature on concordance.

Comportamenti

Lo studente potrà acquisire la capacità di valutare la propria preparazione e/o di studiare in gruppo, interagendo con altri studenti.

Behaviors

Students may acquire the ability to evaluate their own knowledge and/or to study in a group, interacting with other students.

Modalità di verifica dei comportamenti

Non saranno effettuate verifiche dei comportamenti.

Assessment criteria of behaviors

There will be no assessment of behaviors.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Questo corso è indirizzato a studenti avanzati. I fatti basilari della topologia algebrica e differenziale verranno supposti noti o richiamati brevemente.

Prerequisites

This course is aimed at advanced students. Basic facts of algebraic and differential topology will be assumed or recalled briefly.

Corequisiti

Non ci sono corequisiti.

Co-requisites

There are no co-requisites.

Prerequisiti per studi successivi

Il corso non contiene prerequisiti per altri corsi.

Prerequisites for further study

The course contains no prerequisites for other courses.

Indicazioni metodologiche

Lezioni tradizionali alla lavagna.

Teaching methods

Traditional lectures with the blackboard.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Richiami sui nodi classici: nodi invertibili e anfichirali, somme connesse, complementare di un nodo, chirurgia, numeri di allacciamento, superfici e matrici di Seifert, determinante, polinomio di Alexander, invariante di Arf, segnature.

 

Concordanza topologica e liscia. Nodi slice, ribbon e unioni simmetriche. Gruppi di concordanza, generi. Esempi. Concordanza algebrica: nodi algebricamente slice e proprietà dei loro invarianti, gruppi di concordanza. Esempi.

 

Rivestimenti ciclici del complementare di un nodo. Rivestimenti ramificati. Forme di allacciamento.

Rivestimenti ramificati della 4-palla. Forme d'intersezione. Ostruzioni slice. Invarianti di Casson-Gordon. Tempo permettendo: cenni sulla classificazione dei nodi a 2-ponti lisciamente slice e/o

costruzioni e risultati 4-dimensionali rilevanti per lo studio della concordanza classica.

 

Syllabus

Review of basic notions on classical knots: invertible and amphicheiral knots, connected sums, knot complement, surgery, linking numbers, Seifert surfaces and Seifert matrices, determinant, Alexander polynomial, Arf invariant, signatures.

 

Topological and smooth concordance. Slice and ribbon knots, symmetric unions. Concordance groups, genera. Examples. Algebraic concordance: algebraically slice knots and their invariants, concordance groups. Examples.

 

Cyclic coverings of the knot complement. Ramified covers. Linking forms. Ramified covers of the 4-ball. Intersection forms. Slice obstructions. Casson-Gordon invariants. Time permitting: sketch of the classification of smoothly slice 2-bridge knots and/or constructions and results relevant for the study of classical concordance.

 

Bibliografia e materiale didattico
  • W.B. Lickorish, "An Introduction to Knot Theory", Springer
  • C. Livingston, S. Naik, "Introduction to Knot Concordance", Work in Progress. 
Bibliography

 

  • W.B. Lickorish, "An Introduction to Knot Theory", Springer
  • C. Livingston, S. Naik, "Introduction to Knot Concordance", Work in Progress. 

 

Modalità d'esame

Gli studenti dovranno preparare un seminario su almeno un lavoro della letteratura specializzata.

Assessment methods

Students will be required to give a talk on at least one article from the specialized literature.

Ultimo aggiornamento 06/09/2019 09:29