Scheda programma d'esame
MATEMATICA
FRANCESCA AGNESE PRINARI
Anno accademico2021/22
CdSSCIENZE AGRARIE
Codice707AA
CFU9
PeriodoAnnuale

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
MATEMATICAMAT/05LEZIONI84
FRANCESCA AGNESE PRINARI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo studente potrà acquisire i primi elementi di logica e insiemi, assieme al concetto di funzione;   quindi  potrà apprendere  gli aspetti teorici ma soprattutto pratici relativi al calcolo dei limiti di una funzione in una variabile (con particolare riferimento ai polinomi, alle funzioni razionali fratte, a quelle contenenti termini di tipo esponenziale o logaritmico), al calcolo differenziale e  all'integrazione   per arrivare a risolvere  le equazioni differenziali lineari del primo ordine e quelle a variabili separabili. Inoltre potrà acquisire i primi strumenti di stastistica descrittiva e il metodo di Cramer e di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari.

Knowledge

The student will be able to master basic notions of logic, sets, the notion of function, mainly considering powers, polynomials and the exponential function. Concerning Infinitesimal Calculus, the student will have the possibility to learn limits of functions of one real variable, then differential calculus and integration for functions of one real variable. Moroever the student will know what is a  differential equation of first order; he will acquire some knowledge of  the main indexes in descriptive statistics; he will learn  the Gaussian reduction  and  the  Cramer's rule to solve   linear systems of equations. 

Modalità di verifica delle conoscenze
  • Per l'accertamento delle conoscenze saranno svolte delle prove in itinere  utilizzando test e/o domande a risposta aperta. 

 

Assessment criteria of knowledge

The student's knowledge will be assessed through a written and an oral examination, in any of the exam sessions.

Capacità

Alla fine del corso lo studente sarà in grado di calcolare limiti e derivate di funzioni in modo da poter tracciare il grafico di una funzione; calcolare integrali di funzioni tramite, ad esempio, il metodo di integrazione per parti o il cambiamento di variabili;  risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine ed equazioni differenziali a variabili separabili; risolvere sistemi di equazioni in 3 incognite attraverso il metodo di Gauss e di Cramer, calcolare frequenze, media, moda e varianza di una variabile statistica discreta.

 

Skills

At the end of the course, the student will be able to study the main analytic and geometric properties of functions of one real variable. The student will be also able to apply Differential and Integral Calculus for specific problems involving functions of one real variable, to solve linear differential equations of first order, or  with separable variables; to solve linear systems by using Gaussian elimination and  by Cramer's rule; to compute mean, moda,  median, range  and variance of statistical discrete distributions.

Modalità di verifica delle capacità

Le capacità acquisite dallo studente potranno essere accertate sia durante le esercitazioni in aula, sia nella correzione degli esercizi proposti durante il tutorato (e le cui risoluzioni  gli studenti potranno inserire su una piattaforma)  che nella valutazione delle prove scritte d'esame. 

Assessment criteria of skills

The student skills will be verified both during the exercise sessions and in the final exam.

Comportamenti

Lo studente potrà acquisire un metodo logico e operativo in relazione a problemi che si possano modellizzare tramite funzioni reali di una variabile reale. Tale metodo potrà applicarsi sia da un punto di vista teorico che applicativo.

Behaviors

The student will be able to get a rigorous method in dealing with problems that can be modeled by a real function of one real variable. This method can be applied following both a theoretical and an applied viewpoint.

Modalità di verifica dei comportamenti

La verifica dell'utilizzo degli strumenti matematici presentati nel corso avverrà principalmente attraverso la valutazione degli esercizi loro assegnati che inseriranno su piattaforma e delle prove scritte d'esame.

Assessment criteria of behaviors

The assessment of how the student is able to use the mathematical tools presented in the course will take place mainly through the evaluation of the final exam.  

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Le conoscenze richieste allo studente consistono nell'algebra elementare, specialmente in riferimento alla risoluzione di equazioni e di disequazioni di secondo grado. È inoltre richiesta la conoscenza dei primi elementi di geometria analitica.

Prerequisites

The student is supposed to have a basic knowledge of elementary algebra, especially in relation to the solution of equations and inequalities arising from polynomials of second degree. Basic knowledge of Analytic Geometry is also required.

Indicazioni metodologiche

Le lezioni saranno tenute in presenza (o per via telematica) a seconda delle delibere degli  organi competenti dell'Ateneo di Pisa. ll corso prevede 84 ore di lezione, con presentazione degli aspetti teorici accompagnati da applicazioni e lo svolgimento di molti esercizi per tutti gli argomenti del corso.
Le lezioni si svolgono alla lavagna/mediante condivisione Ipad. 

Teaching methods

The lessons will be held in the way decided by  the Governance of the University of Pisa.The course provides 84 hours of lectures with presentation of theoretical aspects, applications and several exercises for each one of the topics of the course. Lectures are given on the blackboard/by Ipad.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Prima parte: matematica zero

  • Logica,   insiemi  e funzioni. Elementi di logica e linguaggio matematico. Concetto di insieme: appartenenza, sottoinsiemi ed uguaglianza, unione, intersezione e differenza. Concetto di funzione. Dominio di una funzione e  insieme immagine. Funzioni iniettive, surgettive, biettive, invertibili.  Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà fondamentali.  Intervalli (aperti, chiusi, limitati e illimitati)
  •  Polinomi e funzioni razionali fratte.  Potenze con esponente naturale e  con esponente intero.  Proprietà algebriche delle potenze.    Polinomi e zeri di un polinomio. Divisione tra polinomi. Teorema fondamentale dell'algebra. Funzioni razionali fratte. Equazioni e disequazioni di primo grado
  •  Insiemi limitati (in R).  Insiemi limitati inferiormente, insiemi limitati superiormente, insiemi limitati.  Maggioranti e minoranti. Estremo inferiore e superiore.  Massimo e minimo di un insieme. Assioma di completezza dei numeri reali
  • Funzioni di variabile reale. Grafico di una funzione. Leggere il grafico di una funzione. Grafico della retta. Funzioni pari, dispari, monotone, lineari.  Funzioni limitate. Estremo superiore, estremo inferiore, massimi e minimi relativo e assoluti
  • Potenze, radici $n$-me e funzione valore assoluto. Le potenze con esponente razionale.  La funzione radice $n$-ma. Equazioni e disequazioni di secondo grado.  Grafico della retta e della parabola. Disuguaglianze tra potenze. Equazioni e disequazioni con radici. Funzione valore assoluto. Equazioni e disequazioni con un valore assoluto. 
  •  Funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmi. Funzioni periodiche. Principali funzioni trigonometriche.  Definizione degli  esponenziali: proprietà fondamentali.  Definizione di logaritmo: proprietà dei logaritmi, formula del cambio di base. Equazioni e disequazioni  esponenziali e logaritmiche. Studio del dominio di una funzione e segno.
  • Principio di induzione e  successioni. Principio di induzione. Binomio di Newton.    Successioni. Successioni monotone e successioni limitate.  Sottosuccessioni.

 

 Secondo parte: strumenti per lo studio di funzione

  • Limite di successioni. Definizione di limite.  Il numero di Nepero. Teoremi di unicità del limite, di permanenza del segno, del confronto, dei carabinieri, del limite della somma, del prodotto, del quoziente. Forme indeterminate. Successioni monotone: esistenza del limite. 
  • Limiti di  funzioni. Definizione di limite di una funzione. Teoremi sui limiti di funzione analoghi a quelli per le successioni. Limiti notevoli di funzioni.  Concetto di ordine di infinitesimo e di ordine di infinito.  Confronto tra infiniti e infinitesimi.   Asintoti di una funzione.
  •  Proprietà delle funzioni continue. Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari.  Teoremi di esistenza degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi.  Immagine di una funzione continua su un intervallo
  •   Calcolo differenziale in una variabile.  Derivata di una funzione. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente, della composizione. Calcolo della derivata di funzioni elementari. Legami tra continuità e derivabilità. Derivata della funzione inversa e suo calcolo per funzioni elementari.  Teorema di de l'Hôpital.  Teoremi di Rolle e di Lagrange. Massimi e minimi. Relazione tra il segno della derivata e la monotonia. Convessità di una funzione, punti di flessi e studio della derivata seconda. Informazioni deducibili dal grafico della derivata di una funzione.
  • Studio di funzione. Studio del grafico di una funzione. Eventuali simmetrie  in base alle proprietà della funzione, quali parità, disparità.  

 

Terza parte: Integrazione ed equazioni differenziali del primo ordine.

  • Calcolo integrale in una variabile. Integrale di Riemann per funzioni limitate su intervalli limitati. Significato geometrico. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Proprietà dell'integrale. Funzione integrale. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione continua e loro utilizzo per il calcolo di integrali definiti. Primitive delle funzioni elementari. Formula di integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrali impropri (cenni).
  • Equazioni differenziali ordinarie. Generalità sulle equazioni  differenziali.   Integrale generale. Equazioni differenziali del primo ordine di tipo lineare e a variabili separabili.   Il problema di Cauchy.

Quarta parte. Ulteriori strumenti

  • Cenni di statistica descrittiva. Indagine statistica: tipo di variabile di interesse,  popolazione, campione, variabile statistica.  Frequenze assolute e relative. Rappresentazione dei dati.   Indici di centralità (media, mediana, moda), indici di dispersione (varianza, deviazione standard).
  • Sistemi lineari. Metodo di eliminazione di Gauss. Determinanti di matrici quadrate e regola di Cramer.

 

Syllabus

LOGIC AND SETS. Concept of sets: elements, subsets, equality, union, intersection and difference. Numerical sets: N, Z, Q, R and their fundamental properties. Elements of mathematical language. Induction principle. Newton's binomial theorem.

POWERS, EXPONENTIALS AND LOGARITMS. Powers with integer exponent. Powers with rational exponent. Algebraic properties of powers. Inequalities between powers. Exponential functions: fundamental properties and related charts. Definition of logarithm: properties of logarithms, basis change formula.

FUNCTIONS. Function concept. Injective, surjective, invertible functions. Image set of a function. Even, odd, periodic, monotone functions. Axiom of continuity of real numbers. Numerical sets limited. Maximum and minimum of a set. Lower and upper extremes.

LIMITS. Limit of a succession of real numbers. Theorems of the uniqueness of the limit, of permanence of the sign, of the comparison, of "carabinieri", of the limit of the sum, of the product, of the quotient. Indefinite forms. Monotonic successions: existence of the limit. Limited successions. Definition of limit of a function. Theorems on function limits similar to those for successions. Important limits of functions. Notes on the order of infinitesimal and order of infinity.

DIFFERENTIAL CALCULUS IN A VARIABLE. Continuous functions and related theorems. Continuity of elementary functions. Theorems of existence of zeros, Weierstrass and intermediate values. Bisection method. Image of a continuous function on a range. Derivative of a function. Derivative of the sum, of the product, of the quotient, of the composition of functions. Calculation of the derivative of elementary functions. Links between continuity and derivability. Derivative of the inverse function and its calculation for elementary functions. Theorems of Rolle and Lagrange. Maxima and minima. Relationship between the sign of the derivative and the monotony. De l'Hopital theorem. Functions' study. Charts and their interpretation. Basic operations on the graphs; parity, disparity, frequency of a function, absolute value.

INTEGRAL CALCULATION IN A VARIABLE. Riemann Integral for limited functions over limited intervals. Geometric meaning. Integrability of monotonic functions and continuous functions. Properties of the integral. Integral function. The integral average theorem. Fundamental theorem of integral calculus. Primitives of a continuous function and their use for the calculation of defined integrals. Primitives of elementary functions. Integration formula for parts and for replacement. Integration of rational functions. Improper integrals.

ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. What is an ordinary differential equation and what is a solution. Linear differential equations of first order or  with separable variables; Cauchy's problem.   
 

ELEMENTS OF DESCRIPTIVE STATISTICS: frequencies, data representation, position indexes (mean and median), dispersion indices (variance and standard deviation).

RESOLUTION OF LINEAR SYSTEM: by using Gaussian elimination and  by Cramer's rule.

 

 

Bibliografia e materiale didattico

Testi consigliati

P. Marcellini – C. Sbordone: ELEMENTI DI CALCOLO – Liguori Editore – 2004
M. Abate: MATEMATICA E STATISTICA, le basi per le scienze della vita – McGraw-Hill – 2017

M. Gobbino-M. Ghisi: Schede di analisi matematicaEditore: Esculapio 

Per esercitarsi: 

M. Gobbino-M. Ghisi: Esercizi per precorsi di matematicaEditore: EsculapioP. Marcellini – C. Sbordone: ESERCITAZIONI DI MATEMATICA – Vol. I parte 1, Liguori Editore – 2013
P. Marcellini – C. Sbordone: ESERCITAZIONI DI MATEMATICA – Vol. I parte 2, Liguori Editore – 2014, 2017

Dispense della docente

Bibliography

Recommended books


M. Gobbino-M. Ghisi: Esercizi per precorsi di matematicaEditore: Esculapio

P. Marcellini – C. Sbordone: ELEMENTI DI CALCOLO – Liguori Editore – 2004
P. Marcellini – C. Sbordone: ESERCITAZIONI DI MATEMATICA – Vol. I parte 1, Liguori Editore – 2013
P. Marcellini – C. Sbordone: ESERCITAZIONI DI MATEMATICA – Vol. I parte 2, Liguori Editore – 2014, 2017

M. Abate: MATEMATICA E STATISTICA, le basi per le scienze della vita – McGraw-Hill – 2017

Teacher's handouts and Lecture notes.

 

Modalità d'esame

L'esame è costituito da una prova  scritta, mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi: più specificatamente è richiesto uno studio di funzione, la  risoluzione di un integrale con applicazione allo studio di un'equazione differenziale del primo ordine, un esercizio di statistica descrittiva, un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite. Gli esami scritti sono previsti in ogni sessione d'esame: tre al termine del corso (nel periodo aprile-luglio), uno a settembre, tre nella sessione invernale (gennaio-febbraio).  L'esame orale si svolge a scelta dello studente (solo nel caso in cui il voto dello scritto è almeno 18) oppure su richiesta del docente  qualora fosse necessario verificare aspetti della risoluzione del compito non adeguatamente giustificati. Esso prevede la discussione del compito scritto, la risoluzione di  ulteriori esercizi e  la conoscenza delle  definizioni, formule, proprietà ed enunciati dei principali teoremi svolti (senza dimostrazioni).  In alternativa allo scritto totale, si richiede il superamento di due  esoneri (con un voto di  almeno 16/31 e una media tra i due di almeno 18/31).   

 Distribuzione appelli:

  •  metà gennaio (circa): compitino di Matematica zero (facoltativo o obbligatorio in caso di OFA). A seguire Primo Esonero;
  • metà febbraio (circa): compitino di Matematica zero (facoltativo o obbligatorio in caso di OFA). A seguire Primo Esonero;
  • fine aprile: compitino di Matematica zero (facoltativo o obbligatorio in caso di OFA). A seguire Primo Esonero; a seguire Secondo Esonero. In questo modo lo studente può accedere a tutti e 3 i compitini;
  • un appello i primi di giugno e un appello i  primi di luglio con le seguenti identiche modalità: compitino di Matematica zero (facoltativo o obbligatorio in caso di OFA). A seguire Secondo Esonero e Totale in contemporanea. Allo scadere di un'ora e mezzo, lo studente interessato alla consegna del solo secondo esonero lascia l'aula.

Lo studente che riconsegna un  primo parziale, perde il risultato conseguito nel primo parziale precedente; lo studente che riconsegna un secondo parziale, perde il risultato conseguito nel secondo parziale precedente;lo studente che consegna un esame totale, perde gli eventuali voti sufficienti dei due parziali. Invece, anche se   uno dei compitini-compiti fosse insufficiente, lo studente non perde gli eventuali   bonus matematica zero e tutorato.

  Il voto finale registrato è il voto dell'esame scritto (o la media tra i due compitini) e, se sufficiente,  può essere incrementato di un punto previa partecipazione dello studente alle attività di tutorato (documentata, in itinere, dall'inserimento  su piattaforma della risoluzione degli esercizi assegnati).

Per gli studenti che hanno il recupero degli Ofa si prevede un compitino di Matematica zero (il cui superamento è obbligatorio per accedere all'esame scritto). Inoltre  tutti gli studenti  (prima di accedere all'esame scritto o al primo parziale e, in ogni caso, entro la fine del corso di Matematica) hanno la possibilità di partecipare al compitino di Matematica zero   allo scopo  di dimostrare il recupero o il consolidamento dei prerequisiti richiesti: il voto sufficiente (almeno 6/10) a tale compitino consente di incrementare il voto del compito scritto (se quest'ultimo risulta almeno 18) sino a un massimo di 2 punti.

Durante la prova scritta non è consentito consultare testi, utilizzare PC, tablet o smartphone, calcolatrici.

Assessment methods

The exam consists in a written exam, aimed to assess the student's ability to solve problems and exercises concerning the main topics of the course. The final mark will take into account the  correctness and completeness in the written test,  active participation during lectures, exercises done during the course. The student who gets a score of at least 18 points in the written exam can ask an oral interview in order to increase his final mark. The oral exam is eventually required by the teacher  to verify some unjustified aspects of the resolution of the  written test.  During the oral exam the student will be required to illustrate some aspects of the course topics (definitions, examples, properties, formulas, theorems, or applications).

It is possibile to split the written partial exam in two parts. The first test takes place after the first half part of the course, the second one at the end of the course. During the written exam it is not permitted to consult texts, use PC, tablet or smartphone, electronic calculator devices. 

Ultimo aggiornamento 26/09/2021 09:00