Scheda programma d'esame
ALGEBRA LINEARE E ANALISI MATEMATICA II
MARINA GHISI
Anno accademico2022/23
CdSINGEGNERIA ELETTRONICA
Codice591AA
CFU12
PeriodoAnnuale
LinguaItaliano
CdSINGEGNERIA ELETTRONICA
Codice591AA
CFU12
PeriodoAnnuale
LinguaItaliano
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze
Al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni di base di algebra lineare e del calcolo differenziale e integrale in più variabili.
Knowledge
By the end of the course students will have acquired the basic notions of linear algebra and differential and integral calculus in several variables.
Modalità di verifica delle conoscenze
L'acquisizione delle conoscenze sarà verificata tramite esercizi in un esame scritto e domande dirette in un esame orale.
Assessment criteria of knowledge
Knowledge acquisition will be assessed with exercises in a written exam and direct questions during an oral exam.
Capacità
Al termine del corso lo studente sarà in grado di effettuare le verifiche più importanti e determinare le quantità più rilevanti dell'algebra lineare e del calcolo differenziale ed integrale in più variabili.
Skills
By the end of the course students will be able to do the most important verifications and determine the most relevant quantities of linear algebra and differential and integral calculus in several variables.
Modalità di verifica delle capacità
L'acquisizione delle capacità sarà verificata tramite esercizi in un esame scritto e domande mirate in un esame orale.
Assessment criteria of skills
Skills acquisition will be assessed with exercises in a written exam and specific questions during an oral exam.
Comportamenti
Al termine del corso lo studente saprà affrontare e risolvere semplici problemi di algebra lineare e del calcolo differenziale ed integrale in più variabili.
Behaviors
By the end of the course students will be able to tackle and solve simple problems in linear algebra and differential and integral calculus in several variables.
Modalità di verifica dei comportamenti
L'acquisizione delle competenze sarà verificata chiedendo allo studente di risolvere semplici problemi durante un esame scritto ed un esame orale.
Assessment criteria of behaviors
Expertise acquisition will be assessed asking the student to solve simple problems during a written exam and an oral exam.
Prerequisiti (conoscenze iniziali)
Modulo di Algebra Lineare
- Tutto il precorso (in particolare polinomi, geometria analitica, trigonometria).
- Parte del corso di Analisi Matematica 1 (in particolare insiemi e funzioni, principio di induzione, numeri complessi).
Modulo di Analisi 2
- Tutto il precorso, in particolare saper disegnare insiemi del piano descritti mediante equazioni e/o disequazioni e saper risolvere sistemi di equazioni.
- Tutto il corso di Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).
- Tutto il corso di Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, matrici, forme quadratiche).
Prerequisites
Modulo di Algebra Lineare
- Basic mathematics, in particular polynomials, analytic geometry and trigonometry.
- Part of the Analisi Matematica 1 course, in particular sets and functions, mathematical induction and the complex numbers.
Modulo di Analisi 2
- Basic mathematics, and in particular drawing subsets of the plane described through equations/inequalities, and solving systems of equations.
- Real analysis for one-variable functions (differential calculus, limits, integral calculus).
- Basic linear algebra (vectors, analytic geometry in the plane and in the space, matrices, quadratic forms).
Indicazioni metodologiche
Lezioni registrate con messa a disposizione delle registrazioni.
Teaching methods
Online lectures with available recordings.
Programma (contenuti dell'insegnamento)
Modulo di Algebra Lineare
Spazi vettoriali ed applicazioni lineari.
- Campi e spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali.
- Dipendenza e indipendenza lineare, generatori, basi e componenti di un vettore rispetto ad una base, dimensione di uno spazio e di un sottospazio vettoriale. Span di un insieme di vettori.
- Somma ed intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di sottospazi e componenti di un vettore rispetto ad una somma diretta.
- Applicazioni lineari. Matrice associata ad un'applicazione lineare dopo aver scelto basi in partenza ed arrivo.
- Operazioni tra matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto tra matrici. Trasposta ed inversa di una matrice. Calcolo della matrice inversa mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan e mediante la matrice dei cofattori.
- Matrici di cambio di base. Similitudine tra matrici.
- Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Teorema della dimensione. Legami tra iniettività, surgettività e dimensioni degli spazi di partenza ed arrivo per applicazioni lineari.
- Determinante di una matrice: definizione, principali proprietà, esistenza, unicità. Calcolo mediante l'algoritmo di Gauss e gli sviluppi di Laplace. Determinante della trasposta, dell'inversa, del prodotto.
- Rango di una matrice. Equivalenza tra R-rango, C-rango, D-rango. Calcolo del rango mediante i minori e mediante l'algoritmo di Gauss.
- Autovalori, autovettori, autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
- Polinomio minimo, polinomio caratteristico. Relazioni tra coefficienti del polinomio caratteristico, traccia, determinante, autovalori.
- Forme canoniche. Criteri di diagonalizzabilità sui reali e sui complessi. Forma canonica di Jordan sui reali e sui complessi. Applicazioni e matrici simmetriche. Teorema spettrale.
Prodotti scalari e forme quadratiche
- Prodotto scalare canonico in R^n. Norma e distanza.
- Basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
- Matrici ortogonali.
- Ortogonale di un sottospazio. Proiezioni ortogonali su sottospazi.
- Forme quadratiche e matrici ad esse associate. Definizione di segnatura.
- Metodi per determinare la segnatura di una forma quadratica: completamento dei quadrati, segno degli autovalori, metodo di Sylvester (minori orlati), metodo di Cartesio (segno dei coefficienti del polinomio caratteristico).
- Prodotti scalari in generale e matrici ad essi associate. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
- Basi ortogonali ed ortonormali (e procedimento di ortogonalizzazione) rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo.
- Applicazioni simmetriche rispetto ad un generico prodotto scalare e proprietà delle matrici ad esse associate. Teorema spettrale rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo.
Geometria analitica
- Vettori geometrici nel piano, nello spazio, e più in generale in R^n.
- Geometria analitica nel piano. Equazioni cartesiane e parametriche di rette. Angoli e distanze.
- Geometria analitica nello spazio. Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani. Angoli e distanze tra rette e piani.
- Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi affini di R^n.
- Affinità e isometrie in R^n. Teorema di struttura delle isometrie in R^n.
- Isometrie nel piano e loro classificazione sulla base dei punti fissi. Rotazioni intorno a punti e simmetrie rispetto a rette.
- Isometrie nello spazio e loro classificazione sulla base dei punti fissi. Rotazioni intorno a rette e simmetrie rispetto a piani.
Sistemi lineari
- Scrittura di un sistema lineare in termini di matrici e vettori. Interpretazioni in termini di combinazioni lineari, Span, ed in termini di applicazioni lineari.
- Struttura generale dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare, omogeneo e non omogeneo.
- Matrici a scala e risoluzione di un sistema lineare mediante algoritmo di Gauss.
- Risolubilità di un sistema lineare e rango: teorema di Rouché-Capelli.
- Metodo di Cramer per sistemi lineari.
Modulo di Analisi 2
Calcolo differenziale in più variabili
- Lo spazio R^n. Vettori e operazioni tra vettori. Norma, distanza, prodotto scalare.
- Funzioni di più variabili e loro grafico. Visualizzazione del grafico per funzioni di due variabili: linee di livello e restrizione alle rette (o curve) passanti per un punto.
- Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Relazione tra il limite ed il limite delle restrizioni.
- Limiti all’infinito per funzioni di più variabili.
- Derivate parziali e direzionali per una funzione di più variabili e loro significato geometrico. Mancanza di relazioni tra l’esistenza delle derivate parziali e direzionali in un punto e la continuità nel punto stesso.
- Differenziale per funzioni di più variabili e sua interpretazione geometrica in termini di (iper)piano tangente al grafico. Relazione tra le derivate direzionali e le derivate parziali per una funzione differenziabile. Gradiente e suo significato geometrico. Teorema del differenziale totale.
- Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell’ordine di derivazione. Formula di Taylor in due o più variabili.
- Massimi e minimi locali e globali per funzioni di più variabili. Se in un punto di massimo o minimo interno una funzione è differenziabile, allora il suo gradiente si annulla.
- Richiami sulle forme quadratiche in più variabili: nozione di forma definita positiva e definita negativa.
- Matrice Hessiana e comportamento locale di una funzione in un intorno di un punto stazionario. Convessità e concavità in più variabili.
- Insiemi compatti in R^n. Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili. Generalizzazioni del teorema di Weierstrass nel caso di insiemi non limitati.
- Massimi e minimi vincolati: metodo delle linee di livello.
- Massimi e minimi vincolati: metodo di parametrizzazione del vincolo.
- Massimi e minimi vincolati: metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
- Calcolo differenziale per funzioni da R^n ad R^m. Matrice Jacobiana.
- Derivazione di funzioni composte. Derivazione di integrali dipendenti da parametro.
Calcolo integrale in più variabili
- Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili e suo significato geometrico/fisico.
- Formula di riduzione di un integrale doppio a due integrali semplici mediante sezioni.
- Integrali tripli: formule di riduzione per sezioni e per colonne.
- Sfruttamento delle simmetrie per semplificare il calcolo di integrali doppi o tripli.
- Calcolo di aree, volumi e baricentri mediante integrali doppi e tripli.
- Coordinate polari nel piano. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Utilizzo delle coordinate polari e sferiche per il calcolo di integrali multipli.
- Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi.
- Solidi di rotazione. Teorema di Guldino per il volume dei solidi di rotazione.
- Integrali impropri in più variabili: definizioni e studio della convergenza.
Curve, superfici, calcolo vettoriale
- Curve: definizione. Curve chiuse e semplici. Vettore, versore e retta tangente.
- Lunghezza di una curva: definizione e calcolo.
- Integrali curvilinei (integrale di una funzione lungo una curva).
- Forme differenziali.
- Integrale di una forma differenziale lungo un curva. Forme differenziali esatte e potenziali.
- Insiemi connessi, convessi, stellati, semplicemente connessi. Forme differenziali chiuse. Relazioni tra forme differenziali chiuse ed esatte.
- Superfici: definizioni, versore normale, piano tangente.
- Area di una superficie: definizione e calcolo.
- Teorema di Guldino per il calcolo dell’area di una superficie di rotazione.
- Integrali superficiali (integrale di una funzione su una superficie).
- Operatori differenziali: divergenza, rotore, Laplaciano, gradiente. Relazioni tra gli operatori differenziali.
- Orientazione di una superficie e del suo eventuale bordo.
- Formula di Gauss-Green (teorema della divergenza): enunciati ed applicazioni.
- Formula di Stokes (teorema del rotore): enunciati ed applicazioni.
Syllabus
Vector spaces and linear applications
- Fields and vector spaces. Vector subspaces.
- Linear dependence and linear independence. Generators. Bases and components of a vector with respect to a basis. Dimension of a vector space and a vector subspace. Span of a set of vectors.
- Sum and intersection of vector subspaces. Grassmann formula. Direct sum of subspaces and components of a vector with respect to a direct sum.
- Linear applications. Matrix associated with a linear application after choosing a basis in the domain and codomain.
- Operations between matrices: sum, product by a scalar, product. Transpose and inverse of a matrix. Computing the inverse matrix through the Gauss-Jordan algorithm and through the matrix of cofactors.
- Change-of-basis matrix. Matrix similarity.
- Kernel and image of a linear application. Rank-nullity theorem. Relations between injectivity, surjectivity, and dimensions of domain and codomain for linear applications.
- Determinant of a matrix: definition, main properties, existence, uniqueness. Computation through Gauss algorithm and through Laplace expansion. Determinant of the transpose, the inverse, and of the product of matrices.
- Rank of a matrix. Equivalence between R-rank, C-rank, D-rank. Computation of the rank through minors and through the Gauss algorithm.
- Eigenvalues, eigenvectors, eigenspaces. Algebraic and geometric multiplicity of an eigenvalue.
- Minimal polynomial, characteristic polynomial. Relations between coefficients of the characteristic polynomial, trace, determinant, eigenvalues.
- Canonical forms. Diagonalization over the field of real and complex numbers. Jordan canonical form on the real and the complex field. Symmetric applications and symmetric matrices. Spectral theorem.
Scalar products and quadratic forms
- Canonical scalar product in R^n. Norm and distance.
- Orthogonal and orthonormal bases. Gram-Schmidt orthogonalization process.
- Orthogonal matrices.
- Orthogonal of a subspace. Orthogonal projections onto subspaces.
- Quadratic forms and corresponding symmetric matrices. Definition and signature.
- Methods for determining the signature of a quadratic form: completing the square, sign of the eigenvalues, Sylvester's method (signs of minors), Descartes method (sign of the coefficients of the characteristic polynomial).
- General scalar products and corresponding matrices. Cauchy-Schwarz inequality.
- Orthogonal and orthonormal bases (and corresponding orthogonalization process) with respect to a generic positive definite scalar product.
- Symmetric maps with respect to a generic scalar product and properties of the corresponding matrices. Spectral theorem with respect to a generic positive definite scalar product.
Analytic geometry
- Geometric vectors in the plane, in the space, and more generally in R^n.
- Analytic geometry in the plane. Cartesian and parametric representation of lines. Angles and distance.
- Analytic geometry in the space. Cartesian and parametric representation of lines and planes. Angles and distance between lines and planes.
- Cartesian and parametric representation of affine subspaces of R^n.
- Affine transformations and isometries in R^n. Structure theorem for isometries in R^n.
- Isometries in the plane and their classification based on the set of their fixed points. Rotations around points and symmetries with respect to lines.
- Isometries of the space and their classification based on the set of their fixed points. Rotations around lines and symmetries with respect to planes.
Linear systems
- Writing a linear system in terms of matrices and vectors. Interpretation in terms of linear combinations, Span, and linear applications.
- General structure of the set of solutions of a (homogeneous and non-homogeneous) linear system.
- Matrices in reduced row echelon form. Solution of a linear system through Gauss algorithm.
- Solvability of a linear system and rank: Rouché-Capelli theorem.
- Cramer method for linear systems.
Modulo di Analisi 2
Differential calculus for multi-variable functions
- The space R^n. Vectors and operations between vectors. Norm, distance, scalar product.
- Multi-variable functions and their graph. Visualizing the graph of functions of two variables: level lines and restrictions to lines (or curves) through a point.
- Limits and continuity for multi-variable functions. Relations between the limit of a function and the limits of the restrictions of the function.
- Limits at infinity for multi-variable functions.
- Partial derivatives and directional derivatives for multi-variable functions. Geometric interpretation. Lack of relations between existence of partial/directional derivatives in a point and continuity in the same point.
- Differential of a multi-variable function and its geometric interpretation in terms of tangent (hyper)plane to the graph. Relations between directional and partial derivatives for a differentiable function. Gradient and its geometric interpretation. Sufficient conditions for differentiability.
- Higher order derivatives for multi-variable functions. Symmetry of second order derivatives. Taylor polynomials in two or more variables.
- Local and global maxima/minima for multi-variable functions. If a function is differentiable in an interior maximum/minimum point, then its gradient vanishes.
- Recalls on multi-variable quadratic forms. Positive definite and negative definite quadratic forms.
- Hessian matrix and behavior of a function in a neighborhood of a stationary point. Convexity and concavity for multi-variable functions.
- Compact subsets of R^n. Weierstrass theorem for multi-variable functions. Generalizations of Weierstrass theorem to unbounded domains.
- Constrained maxima/minima: level sets method.
- Constrained maxima/minima: parametrization of the constraint.
- Constrained maxima/minima: Lagrange multipliers method.
- Differential calculus for functions from R^n to R^m. Jacobian matrix.
- Chain rule for the differential of a composition of functions. Differentiation of parametric integrals.
Integral calculus for multi-variable functions
- Riemann integral for functions of two or three variables and its geometrical/physical interpretation.
- Reduction of a double integral to two integrals in one variable through sections.
- Triple integrals: "section-wise" and "column-wise" reduction formulae.
- Exploiting symmetries in order to simplify the computation of double and triple integrals.
- Computation of areas, volumes and barycenters through double and triple integrals.
- Polar coordinates in the plane. Cylindrical and spherical coordinates in the space. Computation of multiple integrals by means of polar, cylindrical, and spherical coordinates.
- General variable change formula for double integrals.
- Solids of revolution. Guldino's theorem for the volume of a revolution solid.
- Improper integrals for multi-variable functions: definitions and discussion of the convergence.
Curves, surfaces, vector calculus
- Definition of curve. Closed and simple curves. Tangent vector, tangent versor and tangent line.
- Length of a curve: definition and computation.
- Line integrals (integral of a function along a line).
- Differential forms.
- Integral of a differential form along a curve. Exact differential forms and potentials.
- Connected, convex, star-shaped, simply connected sets. Closed differential forms. Relations between closed and exact differential forms.
- Surfaces: definitions, normal versor, tangent plane.
- Area of a surface: definition and computation.
- Guldino's theorem for the area of a surface of revolution.
- Surface integrals (integral of a function over a surface).
- Differential operators: divergence, curl, Laplacian, gradient. Relations among differential operators.
- Orientation of a surface and its boundary.
- Gauss-Green's formula (divergence theorem): statements and applications.
- Stokes' formula: statements and applications.
Bibliografia e materiale didattico
Modulo di Algebra Lineare
Il docente metterà a disposizione degli studenti le proprie dispense.
Bibliography
Modulo di Algebra Lineare
The teacher will make his lecture notes available to the students.
Indicazioni per non frequentanti
Nessuna
Non-attending students info
None
Modalità d'esame
L'esame consisterà di una prova scritta e di una prova orale. I dettagli delle modalità dipenderanno dalla situazione Covid.
Assessment methods
The exam will consist of a written test and an oral assessment. The details of the assessment methods will depend on the Covid situation.
Ultimo aggiornamento 29/07/2022 10:39