ECTS - University of Pisa
Lo studente avrà acquisito le conoscenze base della teoria degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari, con alcune applicazioni geometriche fondamentali di base, che sono di fondamento per quasi tutti i corsi successivi.
The student will have acquired the basic knowledge of the theory of vector spaces and linear applications, which are fundamental for almost all subsequent courses (both mathematics and physics).
esame scritto e orale, prove in itinere, ricevimenti personalizzati.
written and oral exam, ongoing tests, personalized receptions.
al termine del corso lo studente sarà in grado di manipolare e usare gli strumenti base che verranno poi applicarti in seguito
at the end of the course the student will be able to manipulate and use the basic tools, that will be applied in later courses
domande e interventi in aula, proposizione di esercizi da risolvere
questions and interventions in the classroom, proposition of exercises to be solved
lo studente acquisirà la capacità di astrazione e di modellizzazione tipiche delle materie scientifiche
the student will acquire the abstraction and modeling skills typical of scientific subjects
domande dirette in aula con verifica della capacità di soluxione di problemi
direct questions in the classroom with verification of the ability to solve problems
capacita' di ragionamento e deduzione logica: puo' essere d'aiuto aver studiato Geometria euclidea e geometria analitica nelle scuole superiori.
reasoning and logical deduction skills: it may be helpful to have studied Euclidean geometry and analytical geometry in high schools.
e' un insegnamento di base per tutte le materie che vengono studiate a Matematica
it is strongly recommended for all subjects that are studied later
corsi frontali, si usano delle note (reperibili on line) scritte dai docenti.
frontal courses, notes (available online) written by the teacher are used.
A grandi linee (con possibili variazioni minori):
- Vettori geometrici: somma, prodotto esterno, prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto e scrittura in coordinate; applicazioni (distanze, angoli, aree, volumi); equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani nello spazio.
- Assiomi di campo e di spazio vettoriale. Numeri complessi. Sottospazi, combinazioni lineari, span. Lineare indipendenza. Caratterizzazione delle basi. Ogni spazio vettoriale ha base (dimostrazione nel caso finitamente generato). Algoritmo di scambio, dimensione di uno spazio vettoriale. Somme e somme dirette. Formula di Grassmann.
- Teoria dei sistemi lineari (teorema di Roche'-Capelli, algoritmo di Gauss, rango, rango per righe=rango per colonne).
- Applicazioni lineari: nucleo, immagine, formula delle dimensioni, matrice associata. Composizione e prodotto righe per colonne. Formula del cambiamento di base (caso generale e caso della similitudine per endomorfismi). SD equivalenza. Invarianti per similitudine.
- Determinante: assiomi, gruppo simmetrico (segno di una permutazione), formula del determinante, sviluppo per righe e per colonne, matrice inversa. Teorema di Binet.
- Autovalori e autovettori: polinomio caratteristico, molteplicita' algebrica e geometrica, caso reale, diagonalizzabilita', criteri di diagonalizzabilita'. Indipendenza di autovettori relativi ad autovalori distinti. Polinomio minimo, caso diagonalizzabile, teorema di Hamilton-Cayley. Sottospazi invarianti, caso diagonalizzabile, criterio di diagonalizzabilita' simultanea. Triangolarizzabilita'. Forma canonica di Jordan.
- Prodotti scalari: matrice associata a un prodotto scalare. Formula di cambiamento di base (congruenza). Sottospazio radicale. Formula della dimensione dell'ortogonale di un sottospazio. Teorema di Lagrange e Gram-Schmidt. Teorema di Sylvester reale e complesso, segnatura. Vettori e sottospazi isotropi. Prodotti hermitiani. Operatori simmetrici ed hermitiani. Operatori ortogonali ed unitari. Teorema di Riesz, operatore trasposto e aggiunto. Teorema spettrale. Triangolarizzazione con matrici unitarie. Matrici e operatori normali.
- Spazi affini. Classificazione affine e isometrica delle quadriche.
- Eigenvalues and eigenvectors: characteristic polynomial, algebraic and geometric multiplicity, real case, diagonalizability, diagonalizability criteria. Independence of eigenvectors related to distinct eigenvalues. Minimum polynomial, diagonalizable case, Hamilton-Cayley theorem. Invariant subspaces, diagonalizable case, simultaneous diagonalizability criterion. Triangularizability.
- Scalar products: matrix associated with a scalar product. Basic change formula (congruence). Radical subspace. Formula of the dimension of the orthogonal of a subspace. Lagrange and Gram-Schmidt theorem. Real and complex Sylvester theorem, signature. Isotropic vectors and subspaces. Hermitian products. Symmetric and Hermitian operators. Orthogonal and unitary operators. Spectral theorem. Triangularization with unit matrices. Normal matrices (application to the spectral theorem).
Prevalentemente note scritte dei docenti.
Diversi libri sono consultabili, anche se non verranno seguiti come libri di testo
(autori: Lang, Sernesi, Ciliberto, Abate)
Mostly notes written by the teacher.
Reference texts: Lang, Linear Algebra.
non ci sono variazioni
there are no variations
Scritto e orale.
Written and oral.
http://people.dm.unipi.it/salvetti/GeometriaI/indice3.html
http://people.dm.unipi.it/salvetti/GeometriaI_Fisica/indice2.html
-
