Academic year2022/23
CourseMATHEMATICS
Code224AA
Credits6
PeriodSemester 2
LanguageItalian
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) |
| TEORIA ERGODICA | MAT/05,MAT/07 | LEZIONI | 42 | |
Obiettivi di apprendimento
Conoscenze
Il corso è un'introduzione alla teoria ergodica. Lo studente imparerà i concetti e le tecniche fondamentali della teoria ergodica, che aiutano ad analizzare i sistemi dinamici in matematica e in altre discipline scientifiche.
La teoria ergodica è la disciplina matematica che si occupa di sistemi dinamici dotati di misure invarianti. Un sistema dinamico (discreto) è una trasformazione f : M → M in uno spazio misurabile M. Pensiamo a M come allo spazio di tutti i possibili stati di un dato sistema e a f come alla legge di evoluzione del sistema. Se l'elemento x in M è lo stato iniziale del sistema, allora f(x) è lo stato del sistema dopo l'unità di tempo. Supponiamo sempre che f sia misurabile e lasci invariante una misura definita su M.
Knowledge
The course is an introduction to the subject of ergodic theory. The student will learn the basic concepts and methods of ergodic theory, which help analyze dynamical systems in mathematics and other scientific disciplines.
Ergodic theory is the mathematical discipline dealing with dynamical systems endowed with invariant measures. A (discrete) dynamical system is a transformation f : M → M in some measurable space M. We think of M as the space of all possible states of a given system, and of f as the evolution law of the system. If the element x in M is the initial state of the system, then f(x) is the state of the system after of unit of time. We always assume that f is measurable and leaves invariant a measure defined on M.
Modalità di verifica delle conoscenze
- Presentazione orale (seminario) di una tesina finale scritta su un argomento di teoria ergodica scelto dallo studente e approvato dai docenti
- Problemi assegnati periodicamente
Assessment criteria of knowledge
- Final written essay and oral presentation on a topic in ergodic theory chosen by the student and approved by the lecturers
- Homework
Capacità
Lo studente avrà una conoscenza dettagliata di una serie di esempi fondamentali nella teoria ergodica e capirà le prove dei teoremi fondamentali.
Skills
The student will have a detailed knowledge of a number of fundamental examples in ergodic theory and will understand the proofs of the fundamental theorems.
Modalità di verifica delle capacità
- Discussione di concetti e problemi a lezioni e durante i ricevimenti
- Esercizi assegnati periodicamente
Assessment criteria of skills
- Discussion of concepts and homework problems in class and during office hours
- Homework
Comportamenti
Lo studente sarà in grado di applicare concetti e metodi di base della teoria ergodica allo studio dei sistemi dinamici in matematica e in altre discipline scientifiche.
Behaviors
The student will be able to apply basic concepts and methods of ergodic theory for studying dynamical systems in mathematics and other scientific disciplines.
Modalità di verifica dei comportamenti
Discussione di concetti e problemi a lezioni e durante i ricevimenti.
Assessment criteria of behaviors
Discussion of concepts and homework problems in class and during office hours.
Prerequisiti (conoscenze iniziali)
Analisi reale, nozioni di base della teoria della misura e analisi funzionale
Prerequisites
Real analysis, basic notions of measure theory and functional analysis
Programma (contenuti dell'insegnamento)
Gli argomenti trattati nel corso sono i seguenti:
- Ricorrenza: misure invarianti, teorema di ricorrenza di Poincaré, esempi
- Esistenza di misure invarianti: topologia debole*, teorema di Krylov-Bogoliubov
- Teoremi ergodici: teorema ergodico di von Neumann, teorema ergodico di Birkhoff, teorema ergodico subadditivo
- Ergodità: sistemi ergodici, esempi, proprietà delle misure ergodiche, decomposizione ergodica
- Ergodicità unica: ergodicità unica, minimalità, misura di Haar
- Mixing: mixing, Markov shifts
- Sistemi equivalenti: equivalenza ergodica, equivalenza spettrale
- Entropia: entropia metrica, teorema di Kolmogorov-Sinai, entropia locale, esempi
- Mappe espansive: esistenza di misure invarianti assolutamente continue
Syllabus
The topics covered in the course are the following:
- Recurrence: invariant measures, Poincaré recurrence theorem, examples
- Existence of invariant measures: weak* topology, Krylov-Bogoliubov theorem
- Ergodic Theorems: von Neumann ergodic theorem, Birkhoff ergodic theorem, subadditive ergodic theorem
- Ergodicity: ergodic systems, examples, properties of ergodic measures, ergodic decomposition
- Unique ergodicity: unique ergodicity, minimality, Haar measures
- Mixing: mixing systems, Markov shifts
- Equivalent systems: ergodic equivalence, spectral equivalence
- Entropy: metric entropy, Kolmogorov-Sinai theorem, local entropy, examples
- Expanding maps: existence of absolutely continuous invariant measures
Bibliografia e materiale didattico
- M. Viana and K. Oliveira, Foundations of Ergodic Theory, Cambridge University Press, 2016
- P. Walters, An introduction to ergodic theory, Springer, 1982
Bibliography
- M. Viana and K. Oliveira, Foundations of Ergodic Theory, Cambridge University Press, 2016
- P. Walters, An introduction to ergodic theory, Springer, 1982
Modalità d'esame
- Tesina finale scritta su un argomento scelto dallo studente
- Presentazione orale della tesina
- Risoluzione di problemi
Assessment methods
- Final written essay on a topic chosen by student and approved by lecturers
- Oral presentation of the final essay
- Homework
Updated: 25/08/2022 11:03
