ECTS - University of Pisa
Conoscenze della teoria e degli esempi principali sui campi locali.
Knowledge of the theory and of the main examples and tools of local fields.
Esame orale.
Oral exam.
Capacità di collegare tr loro i vari argomenti. Applicare i risultati teorici alla risoluzione di problemi e alla costruzione di esempi.
Being able to find the connections between the various topics. Apply the theoretical results to solve problems and produce examples.
Sui testi indicati in bibliografia sono disponibili esercizi sugli argomenti svolti, tramite tali esercizi e confrontandosi con i docenti ed i colleghi, lo studente sarà in grado di verificare il proprio livello di comprensione prima dell'esame orale finale.
Exercise on the topics discussed during the lectures are avaliable on various textbooks, with those and through discussions with teachers and colleagues, the student will be able to check his/her level of understanding before the final oral exam.
Seguire le lezioni e completare la preparazione con studio individuale e/o in gruppo durante tutto il semestre.
Attend lectures and supplement them with individual and/or group study throughout the semester.
Nessuna.
None.
Algebra dei corsi triennali, topologia e contenuti del corso di Teoria Algebrica dei Numeri 1.
Basic Arithmetic and Algebra courses, Topology and the topics of the Algebraic Number Theory 1 (TAN1) course.
Le lezioni sono frontali. Per imparare la materia si richiede:
- frequenza delle lezioni
- studio individuale della teoria e risoluzione di esercizi
- lavoro di gruppo (teoria ed esercizi)
La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata.
Learning activities:
Attendance: not mandatory but strongly advised.
Valori assoluti in un campo: dipendenza fra valori assoluti e topologia indotta. Teorema di Ostrowski.
I numeri p-adici: definizione, struttura additiva e struttura moltiplicativa.Completamento di un campo di numeri rispetto ai suoi valori assoluti. Estensioni di valori assoluti ad estensioni algebriche. Gradi locali, norma e traccia locali. Teorema di
approssimazione simultanea. Lemma di Krasner.
Estensioni di campi p-adici: classificazione delle estensioni non ramificate e delle estensioni debolmente ramificate e loro sottogruppi normici.
Dualità di moduli rispetto alla traccia. Il differente di un'estensione. Estensioni monogeniche, moltiplicatività del differente nelle torri di estensioni, proprietà locali del differente. Dicriminante di un'estensione. Relazioni fra differente, discriminante e ramificazione. Relazioni fra la fattorizzazione dei
primi nelle estensioni dei campi di numeri e la fattorizzazione di polinomi sui campi locali.
Estensioni di Galois. Gruppi di decomposizione e gruppi di Galois locali. Conseguenze del teorema di Cebotarev. Gruppi di Galois delle estensioni locali debolmente ramificate. Gruppi di ramificazione:
struttura della catena dei gruppi di ramificazione, risolubilità delle estensioni locali finite, salti nei gruppi di ramificazione.
Il corso si concludera con la trattazione di uno o due argomenti avanzati scelti con gli studenti.
Absolute values on a field: relations between absolute values and their induced topology. Ostrowski's Theorem.
p-adic numbers: definition, additive and multiplicative structures. Completion of a field with respect to its absolute values. Extensions of absolute values in algebraic extensions. Local degrees, local norm and trace. Simultaneous Approximation Theorem. Krasner's Lemma.
Extensions of p-adic fields: classification of unramified and tamely ramified extensions, norm subgroups. Duality via trace maps. The different. Monogenic extensions, multiplicativity of the different in towers of extensions, local properties of the different. Relations between different, discriminant and ramification. Relations between factorization of primes in number fields and factorization of polynomials in local fields.
Galois extensions: decomposition groups and local Galois groups. Consequences of the Cebotarev Theorem. Galois groups for tamely ramified extensions.
Ramification groups: chain of ramification groups, solvability of finite local extensions, ramification jumps.
The course will end with one (or more, depending on the avaliable time) more advanced topics to be decided with the students.
S. Lang, Algebraic Number Theory, 2nd Edition, Springer Verlag 1994.
J.W.S. Cassels and A. Fr\"ohlich (eds.), Algebraic Number Theory, Academic Press 1967.
J-P. Serre, Local fields, Springer Verlag 1979.
J. Neukirch, Class field theory, Springer Verlag 1986.
W. Narkiewicz, Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, Springer 2004.
S. Lang, Algebraic Number Theory, 2nd Edition, Springer Verlag 1994.
J.W.S. Cassels and A. Fr\"ohlich (eds.), Algebraic Number Theory, Academic Press 1967.
J-P. Serre, Local fields, Springer Verlag 1979.
J. Neukirch, Class field theory, Springer Verlag 1986.
W. Narkiewicz, Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, Springer 2004.
Fare riferimento al registro delle lezioni, alla pagina web e al programma.
Consult the summary of the lectures on the register.
Esame orale.
Oral exam.
