ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| METODI NUMERICI PER EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI | MAT/08 | LEZIONI | 42 |
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Al termine del corso:
(Analisi Numerica e FEM) Gli studenti saranno in grado di dimostrare una conoscenza avanzata della soluzione numerica delle equazioni differenziali parziali, con particolare enfasi sui Metodi degli Elementi Finiti. Saranno capaci di esaminare criticamente e applicare vari approcci teorici e pratici per risolvere problemi complessi nei diversi domini applicativi.
(Programmazione e Implementazione) Gli studenti acquisiranno competenze pratiche nell'uso di linguaggi di programmazione come Python e C++ per l'implementazione di algoritmi FEM, preparandoli per applicazioni avanzate nella ricerca e nello sviluppo industriale.
(Stabilizzazione e Analisi degli Errori) Gli studenti comprenderanno i meccanismi di stabilizzazione come GLS e SUPG per equazioni di reazione-trasporto-diffusione e saranno in grado di condurre un'analisi degli errori a priori e a posteriori, implementando strategie di rifinitura adattativa della mesh basate su stime di errore.
(Problematiche Saddle Point e Applicazioni) Saranno in grado di affrontare problemi di punto sella e applicare la teoria di Babuška-Brezzi per l'approssimazione di elementi finiti misti, con applicazioni che vanno dalle equazioni di Darcy alle equazioni di Stokes, migliorando la loro capacità di trattare una varietà di problemi PDEs in campi come la meccanica dei fluidi e la geofisica.
Questi obiettivi di apprendimento assicurano che, al termine del corso, gli studenti abbiano una comprensione approfondita e pratica dei Metodi degli Elementi Finiti e delle loro applicazioni, oltre a una solida preparazione per affrontare sfide complesse nella soluzione numerica delle PDEs.
At the end of the course
These learning objectives ensure that, by the end of the course, students have a thorough and practical understanding of Finite Element Methods and their applications, as well as a solid preparation for tackling complex challenges in the numerical solution of PDEs.
Per valutare l'acquisizione degli obiettivi stabiliti da parte degli studenti, verranno utilizzati i seguenti metodi e/o strumenti:
Valutazione Continua: Durante il corso, la comprensione e l'applicazione dei principi dell'analisi numerica e dei metodi degli elementi finiti (FEM) da parte degli studenti verranno valutate attraverso valutazioni periodiche durante il corso. Queste possono includere compiti di programmazione pratica e presentazioni di progetti. Queste valutazioni mirano a misurare la presa degli studenti sui concetti teorici e la loro capacità di applicare questi concetti per risolvere problemi pratici.
Implementazioni Pratiche e Progetti: Gli studenti intraprenderanno progetti individuali o di gruppo che coinvolgono l'implementazione di algoritmi FEM in Python o C++. I progetti serviranno come applicazione diretta dei contenuti del corso, permettendo agli studenti di dimostrare le loro competenze di programmazione e la loro comprensione dei meccanismi di stabilizzazione, dell'analisi degli errori e dell'applicazione dei FEM a problemi reali. I progetti saranno rivisti e discussi in classe così come in incontri tra gli studenti e l'insegnante, fornendo un'opportunità per feedback e un'esplorazione più approfondita degli argomenti.
Esame Orale: Un esame orale permetterà agli studenti di articolare la loro comprensione dei contenuti del corso e dimostrare la loro capacità di integrare e applicare vari concetti appresi durante il corso.
Sessioni di Peer Review: Come parte dell'approccio di apprendimento collaborativo del corso, gli studenti parteciperanno a sessioni di peer review, presentando i loro progetti e ricevendo feedback costruttivo dai loro pari. Questo processo aiuterà gli studenti a rifinire le loro competenze analitiche, di programmazione e di presentazione, così come ad approfondire la loro comprensione della materia attraverso la discussione e la critica.
To assess the acquisition of the established objectives by the students, the following methods and/or tools will be utilized:
Ongoing Assessment: Throughout the course, students' understanding and application of numerical analysis and finite element methods (FEM) principles will be evaluated through periodic in-course assessments. These may include practical programming assignments and project presentations. These assessments aim to gauge students' grasp of theoretical concepts and their ability to apply these concepts to solve practical problems.
Practical Implementations and Projects: Students will undertake individual or group projects involving the implementation of FEM algorithms in Python or C++. The projects will serve as a direct application of the course content, allowing students to demonstrate their programming skills and their understanding of stabilization mechanisms, error analysis, and the application of FEM to real-world problems. The projects will be reviewed and discussed in class as well as in meetings between the students and the instructor, providing an opportunity for feedback and deeper exploration of the topics.
Oral Examination: An oral examination will enable students to articulate their understanding of the course content and demonstrate their ability to integrate and apply various concepts learned throughout the course.
Peer Review Sessions: As part of the course's collaborative learning approach, students will participate in peer review sessions, presenting their projects and receiving constructive feedback from their peers. This process will help students refine their analytical, programming, and presentation skills, as well as deepen their understanding of the subject matter through discussion and critique.
Al termine del corso:
By the end of the course:
Per valutare l'acquisizione delle competenze stabilite dagli studenti, verranno utilizzati i seguenti metodi e/o strumenti:
Compiti di Programmazione: Durante le sessioni di laboratorio informatico, gli studenti completeranno piccoli progetti volti a comprendere l'uso dei linguaggi di programmazione come Python e C++ per l'implementazione degli algoritmi FEM. Questi compiti valuteranno direttamente la capacità degli studenti di applicare le loro competenze di programmazione per risolvere le equazioni differenziali parziali.
Attività di Analisi Pratica: Gli studenti parteciperanno ad attività pratiche che richiedono l'analisi teorica e pratica delle soluzioni dei problemi PDE. Questo coinvolgerà l'uso dei principi di analisi numerica, formulazioni deboli e teoremi di convergenza. La capacità degli studenti di analizzare e applicare questi principi a problemi reali sarà valutata attraverso esercizi pratici e studi di caso.
Relazioni di Analisi degli Errori: Agli studenti sarà richiesto di condurre analisi degli errori a priori e a posteriori su soluzioni numeriche date. Dovranno quindi creare relazioni che dettagliano i loro risultati, le stime degli errori e le strategie di rifinitura adattativa della mesh che raccomanderebbero. Questo valuterà la loro comprensione dell'analisi degli errori e la loro capacità di applicarla praticamente.
Progetti di Gruppo: Gli studenti lavoreranno in gruppo su progetti che richiederanno la soluzione di PDEs di tipo diverso. I progetti di gruppo potranno culminare con una presentazione e/o un report comprensivo, consentendo agli studenti di dimostrare le loro abilità collaborative, le capacità di risoluzione dei problemi e la profondità di comprensione.
Questi metodi di valutazione sono progettati per fornire una valutazione comprensiva delle competenze pratiche degli studenti nella programmazione, analisi e applicazione dei metodi numerici per risolvere i PDE, così come la loro capacità di lavorare collaborativamente e comunicare efficacemente i loro risultati.
To assess the acquisition of the established skills by the students, the following methods and/or tools will be utilized:
Programming Assignments: During computer lab sessions, students will complete small projects aimed at understanding the use of programming languages such as Python and C++ for implementing FEM algorithms. These assignments will directly assess students' ability to apply their programming skills to solve partial differential equations.
Practical Analysis Activities: Students will engage in practical activities that require the theoretical and practical analysis of PDE solutions. This will involve using numerical analysis principles, weak formulations, and convergence theorems. The students' capacity to analyze and apply these principles to real-world problems will be evaluated through hands-on exercises and case studies.
Error Analysis Reports: Students will be tasked with conducting a priori and a posteriori error analyses on given numerical solutions. They will then create reports detailing their findings, the error estimates, and the adaptive mesh refinement strategies they would recommend. This will assess their understanding of error analysis and their ability to apply it practically.
Group Projects: Students will work in teams on projects that involve tackling different PDE problems. The group projects may culminate in a presentation and a report, allowing students to demonstrate their collaborative skills, problem-solving abilities, and depth of understanding.
These assessment methods are designed to provide a comprehensive evaluation of the students' practical skills in programming, analysis, and application of numerical methods to solve PDEs, as well as their ability to work collaboratively and communicate their findings effectively.
Attraverso il corso, si prevede che lo studente possa acquisire i seguenti comportamenti:
Sensibilità alle Implicazioni Pratiche e Teoriche: Lo studente potrà sviluppare una maggiore sensibilità e comprensione delle implicazioni pratiche e teoriche dell'analisi numerica e dei metodi degli elementi finiti, applicate a problemi reali in diversi ambiti scientifici e ingegneristici.
Gestione di Progetti Complessi: Lo studente acquisirà la capacità di gestire e condurre progetti complessi, comprendendo l'importanza della pianificazione, dell'organizzazione e della gestione del tempo, in particolare nei progetti di gruppo che richiedono la collaborazione tra diversi membri del team.
Approccio Critico e Analitico: Sarà incoraggiato e sviluppato un approccio critico e analitico alla risoluzione dei problemi, permettendo agli studenti di valutare in modo indipendente le soluzioni proposte, identificare le migliori strategie di risoluzione e applicare metodi di verifica e validazione delle soluzioni ottenute.
Capacità di Lavoro in Team: Lo studente svilupperà competenze interpersonali e di lavoro in team, imparando a comunicare efficacemente le proprie idee e risultati, sia oralmente che per iscritto, e a collaborare con altri per raggiungere obiettivi comuni.
Responsabilità Etica e Professionale: Verrà promossa la consapevolezza dell'importanza della responsabilità etica e professionale nello svolgimento di ricerche e nello sviluppo di soluzioni tecniche, includendo la considerazione delle implicazioni sociali, ambientali ed economiche delle tecnologie e delle metodologie applicate.
Precisione e Rigore nell'Analisi dei Dati: Gli studenti acquisiranno opportune accuratezza e precisione nello svolgere attività di raccolta, analisi e interpretazione dei dati, sviluppando competenze nell'uso di strumenti software avanzati per l'analisi numerica e la simulazione di sistemi complessi.
Questi comportamenti mirano a preparare gli studenti non solo a diventare professionisti competenti nel campo dell'analisi numerica e dei metodi degli elementi finiti ma anche a contribuire in modo responsabile e innovativo alla società e all'ambiente professionale in cui opereranno.
Through this course, students are expected to acquire the following behaviors:
Sensitivity to Practical and Theoretical Implications: Students will develop a heightened sensitivity and understanding of the practical and theoretical implications of numerical analysis and finite element methods applied to real-world problems across various scientific and engineering fields.
Management of Complex Projects: Students will gain the ability to manage and lead complex projects, understanding the importance of planning, organization, and time management, particularly in group projects that require collaboration among different team members.
Critical and Analytical Approach: A critical and analytical approach to problem-solving will be encouraged and developed, allowing students to independently assess proposed solutions, identify the best resolution strategies, and apply methods of verification and validation of obtained solutions.
Teamwork Skills: Students will develop interpersonal and teamwork skills, learning to effectively communicate their ideas and results, both orally and in writing, and to collaborate with others to achieve common goals.
Ethical and Professional Responsibility: Awareness of the importance of ethical and professional responsibility in conducting research and developing technical solutions will be promoted, including consideration of the social, environmental, and economic implications of the technologies and methodologies applied.
Accuracy and Rigor in Data Analysis: Students will acquire appropriate accuracy and precision in collecting, analyzing, and interpreting data, developing skills in using advanced software tools for numerical analysis and simulation of complex systems.
These behaviors aim to prepare students not only to become competent professionals in the field of numerical analysis and finite element methods but also to contribute responsibly and innovatively to society and the professional environment in which they will work.
Per valutare i comportamenti acquisiti dagli studenti, verranno utilizzati i seguenti metodi e/o strumenti:
Sessioni di Laboratorio: Durante le sessioni di laboratorio, verrà valutato il grado di accuratezza e precisione delle attività svolte. Questo include la valutazione della completezza nell'analisi dei dati, l'implementazione dei metodi numerici e l'applicazione delle tecniche di stabilizzazione nei compiti di programmazione.
Lavoro di Gruppo: Durante i progetti di gruppo, verranno verificate le modalità di definizione delle responsabilità, di gestione e organizzazione delle fasi progettuali. Questa valutazione si concentrerà sulla capacità degli studenti di collaborare efficacemente, comunicare le proprie idee e contribuire al raggiungimento degli obiettivi del progetto. Verranno fornite osservazioni e feedback sulla dinamica di lavoro di squadra, sugli approcci alla risoluzione dei problemi e sulle strategie di gestione del progetto.
Attività Seminariali: Dopo le attività seminariali, agli studenti verranno richieste delle brevi relazioni concernenti gli argomenti trattati. Queste relazioni valuteranno la capacità degli studenti di sintetizzare le informazioni, articolare la propria comprensione di concetti complessi e riflettere criticamente sul contenuto del seminario.
Presentazioni Orali: Le capacità di presentazione orale degli studenti verranno valutate durante le presentazioni dei progetti e le sessioni di peer review. Questo includerà la valutazione della loro capacità di presentare il proprio lavoro in modo chiaro e coerente, rispondere efficacemente alle domande e interagire costruttivamente con il feedback.
Relazioni Scritte: Sarà valutata la qualità delle relazioni scritte presentate dagli studenti per i loro progetti. Questo comporterà valutare la chiarezza della comunicazione, la profondità dell'analisi, il rigore nella presentazione delle soluzioni e dei risultati, e la capacità di argomentare e giustificare le proprie scelte e conclusioni.
Feedback tra Pari: Durante le sessioni di peer review, gli studenti forniranno e riceveranno feedback sui loro progetti. Questo processo valuterà la capacità degli studenti di impegnarsi in una critica costruttiva, dimostrare apertura al feedback e incorporare i suggerimenti nel loro lavoro.
Questi metodi di valutazione sono progettati per valutare in modo esaustivo l'acquisizione dei comportamenti desiderati dagli studenti, inclusi le competenze tecniche, il lavoro di squadra, la comunicazione e la responsabilità etica e professionale.
To assess the behaviors acquired by the students, the following methods and/or tools will be utilized:
Laboratory Sessions: During laboratory sessions, the degree of accuracy and precision in the activities carried out will be evaluated. This includes assessing the thoroughness of data analysis, the implementation of numerical methods, and the application of stabilization techniques in programming assignments.
Group Work: During group projects, the methods of defining responsibilities, managing, and organizing project phases will be verified. This assessment will focus on students' ability to collaborate effectively, communicate their ideas, and contribute to achieving the project's objectives. Observations and feedback will be provided on teamwork dynamics, problem-solving approaches, and project management strategies.
Seminar Activities: After seminar activities, students will be required to submit brief reports concerning the topics discussed. These reports will assess students' ability to synthesize information, articulate their understanding of complex concepts, and reflect critically on the seminar content.
Oral Presentations: Students' oral presentation skills will be evaluated during project presentations and peer review sessions. This will include assessing their ability to present their work clearly and coherently, respond to questions effectively, and engage with feedback constructively.
Written Reports: The quality of written reports submitted by students for their projects will be assessed. This will involve evaluating the clarity of communication, the depth of analysis, the rigor in presenting solutions and results, and the ability to argue and justify their choices and conclusions.
Peer Feedback: During peer review sessions, students will provide and receive feedback on their projects. This process will assess students' ability to engage in constructive critique, demonstrate openness to feedback, and incorporate suggestions into their work.
These assessment methods are designed to comprehensively evaluate students' acquisition of the desired behaviors, including technical skills, teamwork, communication, and ethical and professional responsibility.
Per seguire il corso in modo proficuo, gli studenti dovrebbero possedere le seguenti conoscenze e abilità:
Conoscenze
Matematica di Base: Comprendere i principi fondamentali di algebra, geometria e calcolo differenziale e integrale. Questo include una buona padronanza delle funzioni, delle derivate, degli integrali e delle serie.
Analisi Matematica: Avere una solida comprensione dell'analisi matematica, in particolare riguardo ai concetti di limiti, continuità, e sviluppi in serie di Taylor, che sono fondamentali per l'apprendimento delle formulazioni deboli delle PDEs.
Algebra Lineare: Conoscere i concetti di base dell'algebra lineare, inclusi vettori, matrici, sistemi di equazioni lineari, autovalori e autovettori, che sono essenziali per la comprensione della discretizzazione e della soluzione numerica delle PDEs.
Abilità/Capacità
Competenze di Programmazione: Avere familiarità con almeno un linguaggio di programmazione, preferibilmente Python o C++, poiché il corso include componenti pratiche di implementazione degli algoritmi FEM.
Capacità di Risoluzione dei Problemi: Essere in grado di applicare un approccio logico e critico alla risoluzione di problemi matematici e ingegneristici. Questo include la capacità di formulare ipotesi, svolgere deduzioni logiche e applicare metodi matematici per trovare soluzioni.
Abilità Analitiche e Critiche: Possedere la capacità di analizzare testi scientifici e articoli di ricerca, comprendendo e valutando criticamente i metodi e i risultati presentati.
Altre Competenze Utili
Fondamenti di Equazioni Differenziali: Avere una conoscenza di base delle equazioni differenziali ordinarie (ODE) e delle equazioni differenziali parziali (PDE), comprese le loro formulazioni e metodi di soluzione classici.
Conoscenze di Fisica o Ingegneria: Per gli studenti provenienti da corsi di studio in fisica o ingegneria, è utile avere una comprensione dei principi fisici che spesso sono alla base dei problemi modellati con le PDEs.
Questi prerequisiti non solo facilitano l'apprendimento durante il corso ma anche permettono agli studenti di impegnarsi più profondamente con il materiale didattico, partecipare attivamente alle discussioni e ai laboratori, e ottenere il massimo beneficio dal corso.
To follow the course effectively, students should possess the following knowledge and skills:
Knowledge
Basic Mathematics: Understand fundamental principles of algebra, geometry, and differential and integral calculus. This includes a solid grasp of functions, derivatives, integrals, and series.
Mathematical Analysis: Have a strong understanding of mathematical analysis, particularly concepts of limits, continuity, and Taylor series expansions, which are fundamental for learning weak formulations of PDEs.
Linear Algebra: Know the basic concepts of linear algebra, including vectors, matrices, systems of linear equations, eigenvalues, and eigenvectors, essential for understanding the discretization and numerical solution of PDEs.
Skills/Capabilities
Programming Skills: Be familiar with at least one programming language, preferably Python or C++, as the course includes practical components of implementing FEM algorithms.
Problem-Solving Ability: Be capable of applying a logical and critical approach to solving mathematical and engineering problems. This includes the ability to formulate hypotheses, perform logical deductions, and apply mathematical methods to find solutions.
Analytical and Critical Skills: Possess the ability to analyze scientific texts and research articles, understanding and critically evaluating the methods and results presented.
Other Useful Competencies
Fundamentals of Differential Equations: Have basic knowledge of ordinary differential equations (ODEs) and partial differential equations (PDEs), including their formulations and classical solution methods.
Physics or Engineering Knowledge: For students from physics or engineering backgrounds, it is helpful to have an understanding of the physical principles often underlying the problems modeled with PDEs.
These prerequisites not only facilitate learning during the course but also enable students to engage more deeply with the instructional material, actively participate in discussions and labs, and gain the maximum benefit from the course.
Nessuno.
None.
Nessuno.
None.
Modalità di Erogazione delle Lezioni
Esercitazioni in Aula/Laboratorio
Strumenti di Supporto
Interazione Studente-Docente
Progetti Didattici e Valutazioni
Lingua di Istruzione
Questo approccio multifacettato mira a dotare gli studenti di una profonda comprensione dei metodi numerici per le PDE, abilità pratiche in FEM e la capacità di applicare queste tecniche per risolvere problemi ingegneristici complessi, garantendo un'esperienza di apprendimento ricca e coinvolgente.
Lecture Delivery
Classroom/Laboratory Exercises
Support Tools
Student-Instructor Interaction
Educational Projects and Assessments
Language of Instruction
This multifaceted approach aims to equip students with a deep understanding of numerical methods for PDEs, practical skills in FEM, and the ability to apply these techniques to solve complex engineering problems, ensuring a rich and engaging learning experience.
Preliminari
Formulazioni Deboli e Ben Poste
Introduzione agli Elementi Finiti
Disuguaglianze Inverse e Funzionali
Analisi degli Errori a Priori
Meccanismi di Stabilizzazione
Analisi degli Errori A-posteriori e Adattività
Crimini Variationali
Galerkin Discontinuo
Problemi di Punto Sella Astratti
Darcy e Stokes
Progetti e Seminari
Preliminaries
Weak Formulations and Well-Posedness
Introduction to Finite Elements
Inverse and Functional Inequalities
A priori Error Analysis
Stabilization Mechanisms
A-posteriori Error Analysis and Adaptivity
Variational Crimes
Discontinuous Galerkin
Abstract Saddle Point Problems
Darcy and Stokes
Projects and Seminars
The Finite Element Method for Elliptic Problems
Author: Philippe G. Ciarlet (1978)
Theory and Practice of Finite Elements
Authors: Alexandre Ern, Jean-Luc Guermond (2004)
Access the book on Springer
The Mathematical Theory of Finite Element Methods
Authors: Susanne C. Brenner, L. Ridgway Scott (2008)
Access the book on Springer
Mixed Finite Element Methods and Applications
Authors: Daniele Boffi, Franco Brezzi, Michel Fortin (2013)
Access the book on Springer
Additional Resources
The Finite Element Method for Elliptic Problems
Author: Philippe G. Ciarlet (1978)
Theory and Practice of Finite Elements
Authors: Alexandre Ern, Jean-Luc Guermond (2004)
Access the book on Springer
The Mathematical Theory of Finite Element Methods
Authors: Susanne C. Brenner, L. Ridgway Scott (2008)
Access the book on Springer
Mixed Finite Element Methods and Applications
Authors: Daniele Boffi, Franco Brezzi, Michel Fortin (2013)
Access the book on Springer
Additional Resources
L'esame è composto da una prova orale (obbligatoria) e da una prova pratica (opzionale) che può consistere nella presentazione seminariale di materiale legato al corso, concordato con il docente, o nello svolgimento di un progetto (anche in piccoli gruppi), con relativo report associato.
In assenza di prova pratica e/o presentazione lo studente non può raggiungere la lode.
Modalità Operative dell'Esame
Prova Pratica: La prova pratica è opzionale e deve essere concordata con il docente. Gli studenti possono scegliere di presentare un progetto, realizzato individualmente o in piccoli gruppi, che includa lo sviluppo e l'implementazione di algoritmi FEM, analisi di dati o soluzione di problemi specifici utilizzando le tecniche apprese durante il corso. Alternativamente, possono optare per una presentazione seminariale su argomenti specifici del corso. Il lavoro svolto dovrà essere documentato in un report che sarà valutato come parte dell'esame.
Prova Orale: L'esame orale è obbligatorio per tutti gli studenti. Consiste in un colloquio tra lo studente e il docente (e possibilmente altri collaboratori del docente) dove verranno discusse le tematiche trattate durante il corso. Durante la prova orale, potrebbe essere richiesto allo studente di risolvere problemi o esercizi scritti, dimostrando la capacità di applicare concretamente le conoscenze acquisite.
The exam consists of an oral test (mandatory) and a practical test (optional) that may involve the seminar presentation of course-related material agreed upon with the lecturer, or the completion of a project (also in small groups), with an associated report.
Without a practical test and/or presentation, the student cannot achieve honors.
Exam Operational Modes
Practical Test: The practical test is optional and must be agreed upon with the lecturer. Students can choose to present a project, carried out individually or in small groups, that includes the development and implementation of FEM algorithms, data analysis, or solving specific problems using the techniques learned during the course. Alternatively, they can opt for a seminar presentation on specific topics of the course. The work done must be documented in a report that will be evaluated as part of the exam.
Oral Test: The oral exam is mandatory for all students. It consists of an interview between the student and the lecturer (and possibly other collaborators of the lecturer) where the topics covered during the course will be discussed. During the oral test, the student may be asked to solve written problems or exercises, demonstrating the ability to practically apply the acquired knowledge.
Non previsti.
Not planned.
