ECTS - University of Pisa
Scheda programma d'esame
NUMERICAL METHODS FOR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
LEONARDO ROBOL
Academic year2023/24
CourseMATHEMATICS
Code067AA
Credits6
PeriodSemester 2
LanguageItalian

ModulesAreaTypeHoursTeacher(s)
METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEMAT/08LEZIONI48
LEONARDO ROBOL unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Gli studenti acquisiranno conoscenze riguardanti i principali metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie e le loro proprietà fondamentali. Inoltre, svilupperanno la capacità di trattare problemi che derivano dalla modellizzazione matematica di fenomeni reali selezionando gli algoritmi più adatti per risolverli e di riflettere in modo critico e creativo sui risultati delle simulazioni numeriche da loro effettuate.

 
Knowledge

The students who successfully complete the course will be aware of the main numerical methods for solving ordinary differential equations and of their principal properties. Furthermore, they will have acquired the skill to treat real-life problems modeled by differential equations by selecting the algorithms best suited for dealing with them. The students will be able to reflect critically and creatively on the results of the numerical simulations carried out by them.
Modalità di verifica delle conoscenze

Durante la prova orale lo studente dovrà dimostare di aver acquisito conoscenze sui contenuti del corso utilizzando terminologia appropriata.
Assessment criteria of knowledge

The student will be assessed on his/her demonstrated ability to discuss the main course contents using the appropriate terminology.

 
Capacità

Al termine del corso, lo studente avrà acquisito capacità riguardanti la scelta ed il corretto utilizzo di un metodo numerico per equazioni differenziali ordinarie.
Skills

The student who succesfully completes the course will be aware of choosing and use correctly a numerical method for ODEs. 
Modalità di verifica delle capacità

Prova orale.
Assessment criteria of skills

Final oral exam.
Comportamenti

Lo studente potrà acquisire sensibilità riguardanti la scelta di un metodo numerico e la analisi della accuratezza e della affidabilità delle approssimazioni da esso fornite.
Behaviors

The student who succesfully completes the course will be able to analyze the accuracy and the reliability of the approximations provided by a numerical scheme.
Modalità di verifica dei comportamenti

Prova orale.
Assessment criteria of behaviors

Final oral exam.
Prerequisiti (conoscenze iniziali)

È necessaria la conoscenza dei principali risultati teorici riguardanti le equazioni differenziali ordinarie e delle nozioni fondamentali di analisi numerica.
Prerequisites

The knowledge of the main theoretical results on ordinary differential equations and of the basic notions of numerical analysis is required.
Teaching methods

Delivery: face to face

Attendance: Advised

Teaching methods:

  • Lectures
  • Laboratory

 
Programma (contenuti dell'insegnamento)
  1. Metodi ad un passo, Eulero esplicito/implicito, Runge-Kutta.
  2. Consistenza, stabilità e convergenza; il teorema di equivalenza per metodi ad un passo.
  3. Regione di stabilità e funzione di stabilità.
  4. Condizioni necessarie e sufficiente per la consistenza di ordine p per metodi RK.
  5. Alberi radicati di Butcher.
  6. Metodi di quadratura interpolatoria; polinomi ortogonali.
  7. Costruzione di metodi RK impliciti tramite collocazione.
  8. Caratterizzazione della stabilità per IRK di collocazione.
  9. Approssimanti di Padé dell'esponenziale.
  10. Metodi lineari a più passi, definizione e proprietà. 
  11. Metodi di Adams, BDF.
  12. Equazioni alle differenze.
  13. Consistenza, stabilità e convergenza per metodi LMM.
  14. Prima e seconda barriera di Dahlquist.
  15. Metodi che preservano le strutture del problema: metodi di splitting, Lie-Trotter, Strang; metodi simplettici (cenni)
Syllabus
  1. One step methods: explicit and implicit Euler, Runge-Kutta.
  2. Consistency, stability, and convergence. Equivalence theorem for one step methods.
  3. Stability region and function for one step methods.
  4. Necessary and sufficient conditions for order p consistency in RK methods.
  5. Butcher's rooted trees.
  6. Interpolative quadrature; orthogonal polynomials.
  7. Definition of implicit RK methods through collocation.
  8. Characterization of the stability regions of IRK collocation methods.
  9. Padé approximant for the exponential.
  10. Linear multistep methods, definition and properties.
  11. Adams' methods, BDF.
  12. Difference equations.
  13. Consistency, stability, and convergence for LMM.
  14. First and second Dahlquist's barrier.
  15. Structure preserving methods: splitting methods and symplectic integrators.
Bibliografia e materiale didattico
  • Course notes on Moodle.
  • U. M. Ascher, L. R. Petzold, Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations, SIAM, 1998.
  • J. C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations Wiley, 2016.
  • E. Hairer, S. P. Nørsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I, Nonstiff problems, Springer, 1993.
  • E. Hairer, G. Wanner, Solving ordinary differential equations II, Stiff and Differential-Algebraic problems, Springer, 1996.
  • G. H. Golub, G. Meurant, Matrices, moments and quadrature with applications, Princeton University Press, 2009.
  • A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics, Springer, 2010.
Bibliography
  • Course notes on Moodle.
  • U. M. Ascher, L. R. Petzold, Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations, SIAM, 1998.
  • J. C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations Wiley, 2016.
  • E. Hairer, S. P. Nørsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I, Nonstiff problems, Springer, 1993.
  • E. Hairer, G. Wanner, Solving ordinary differential equations II, Stiff and Differential-Algebraic problems, Springer, 1996.
  • G. H. Golub, G. Meurant, Matrices, moments and quadrature with applications, Princeton University Press, 2009.
  • A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics, Springer, 2010.
Indicazioni per non frequentanti

Non sussiste alcuna variazione per non frequentanti.
Non-attending students info

There is no variation for non-attending students.
Modalità d'esame

Prova orale.
Assessment methods

Final oral exam.
Updated: 28/07/2023 18:44