CdSMATEMATICA
Codice074AA
CFU6
PeriodoPrimo semestre
LinguaItaliano
| Moduli | Settore/i | Tipo | Ore | Docente/i | |
| SISTEMI DINAMICI | MAT/07 | LEZIONI | 60 |
|
Gli studenti devono acquisire le definizioni delle strutture matematiche utilizzate, gli enunciati dei teoremi, e comprendere le problematiche per le quali non esistono soluzioni semplici ed automatiche, come nei concetti di integrabilita' e caos.
Basic knowledge on matrix algebra and linear dynamical systems, on the concepts of stability, equilibrium, first integral, on finite difference equations. Specific knowledge on qualitative theory of dynamical systems, especially in the plane, on conservative systems with Newton. Lagrange and Hamilton formalism, on discretization of ordinary differential euqations, on non-integrable and chaotic dynamical systems. Significant examples of applications to problems in mechanics, in economics, and in model problems.
Sono previste ore di ricevimento studenti, sia da parte del docente titolare che tramite un contratto di supporto.
In the written exam (3 hours, 3 exercices) the student must demonstrate his/her knowledge of the course material and to solve computationally simple problems. During the oral exam the student must be able to demonstrate his/her knowledge of the course content and logical structure, i.e. give proofs.
Methods:
- Final oral exam
- Final written exam
- Periodic written tests
Gli studenti devono acquisire capacita' computazionali concrete ed accurate, in modo da fornire risposte esplicite, sia quantitative che qualitative, alle domande poste da problemi assegnati sull'argomento del corso.
Sono previsti due compiti scritti in itinere, che verranno r4estituiti corretti, e lo svolgimento del compito sara' commentato nelle lezioni.
Agli studenti sara' richiesto sia il rigore negli enunciati e nelle dimostrazioni che la capacita' computazionale nella soluzione di un problema specifico.
Chiamando gli studenti alla lavagna in aula, nei ricevimenti, negli esami.
Vengono ampiamente utilizzati argomenti che fanno parte dei programmi
dei corsi del primo biennio, in particolare in Aritmetica, Algebra
Lineare e Geometria Analitica, Fisica I, Analisi matematica I, Analisi
Matematica II, Geometria II.
Possono essere utili, in quanto si verificano delle sinergie, sia il corso di Meccanica Razionale che quello di Elementi di Meccanica Celeste.
Questo corso e' obbligatorio per conseguire la laurea triennale in Matematica
Le lezioni frontali si svolgono sia alla lavagna che con l'ausilio del calcolatore, in particolare sotto forma di programmi che includono una rappresentazione grafica dei risultati.
Delivery: face to face
Learning activities:
- attending lectures
- individual study
- Other
Attendance: Advised
Teaching methods:
- Lectures
- Task-based learning/problem-based learning/inquiry-based learning
1.Introduzione: Sistemi dinamici continui e discreti,
lineari e nonlineari, conservativi, integrabili: definizioni ed esempi
semplici.
2. Sistemi dinamici lineari: richiami di algebra lineare,
esponenziale di matrici, prodotto di serie, autovalori reali e
complessi, nilpotenti, risonanza.
3. Teoria qualitativa: Richiami sulle soluzioni dei problemi
alle condizioni iniziali. Stabilita', instabilita', sorgenti e
pozzi, esponenti e funzioni di Lyapounov, sistemi Newtoniani
conservativi e con dissipazione, sistemi gradiente, selle, insiemi
limite, orbite periodiche, teorema di Poincare'-Bendixon.
4. Sistemi discreti e discretizzazione: equazioni alle
differenze finite lineari, esempi di applicazioni all'economia
matematica, metodo di Eulero, errore di troncamento e convergenza,
discretizzazione conservativa, metodi di Runge-Kutta, mappa standard.
5. Sistemi Hamiltoniani a un grado di liberta':
teorema di Liouville, integrabilita' e legge oraria, studio
qualitativo, trasformata di Legendre, sistemi Lagrangiani, moti
vincolati, trasformazioni canoniche, variabili azione-angolo.
6. Caos: regioni caotiche per la mappa standard,
teorema delle separatrici, punti omoclinici, insiemi iperbolici, ferro
di cavallo di Smale, regioni ordinate, esponenti di Lyapounov,
definizione di caos.
Discrete and continous dynamical systems. Linear dynamical systems and their solutions, resonance. Stability, instability, sinks, Lyapounove exponents and functions, Newtonian systems, conservative and with dissipation. Gradient systems, separatrix, limit sets, Poincare'-Bendixon theory. Hamiltonian systems with one degree of freedom, area preserving flow, integrability and time law, Legendre transform and Lagrange equation, constrained motion, canonical transformations, action-angle variables. Discrete dynamical systems and finte difference equations, examples in economics, discretization with Euler method, with standard map. The standard map of the pendulum: chaotic regions, the separatrices, homoclinic points, hyperbolic sets, Smale's horsehoe, ordered regions, Lyapounov exponents, definitions of chaos.
A. Milani, Introduzione ai sistemi dinamici, Seconda edizione
riveduta e corretta, Edizioni Plus, Pisa, 2009; 256 pagine + CD-ROM
A. Milani, Introduzione ai sistemi dinamici, Seconda edizione riveduta e corretta, Edizioni Plus, Pisa, 2009; 256 pagine + CD-ROM
Esame scritto, che puo' essere sostituito da risultati complessivamente positivi dei due compiti in itinere.
Esame orale
http://adams.dm.unipi.it/~milani/dinsisno/
versione online del libro di testo