Scheda programma d'esame
SISTEMI DINAMICI
ANDREA MILANI COMPARETTI
Anno accademico2017/18
CdSMATEMATICA
Codice074AA
CFU6
PeriodoPrimo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
SISTEMI DINAMICIMAT/07LEZIONI60
ANDREA MILANI COMPARETTI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Gli studenti devono acquisire le definizioni delle strutture matematiche utilizzate, gli enunciati dei teoremi, e comprendere le problematiche per le quali non esistono soluzioni semplici ed automatiche, come nei concetti di integrabilita' e caos.

Knowledge

Basic knowledge on matrix algebra and linear dynamical systems, on the concepts of stability, equilibrium, first integral, on finite difference equations. Specific knowledge on qualitative theory of dynamical systems, especially in the plane, on conservative systems with Newton. Lagrange and Hamilton formalism, on discretization of ordinary differential euqations, on non-integrable and chaotic dynamical systems. Significant examples of applications to problems in mechanics, in economics, and in model problems.

Modalità di verifica delle conoscenze

 

Sono previste ore di ricevimento studenti, sia da parte del docente titolare che tramite un contratto di supporto. 

Assessment criteria of knowledge

In the written exam (3 hours, 3 exercices) the student must demonstrate his/her knowledge of the course material and to solve computationally simple problems. During the oral exam the student must be able to demonstrate his/her knowledge of the course content and logical structure, i.e. give proofs.

Methods:

  • Final oral exam
  • Final written exam
  • Periodic written tests
Capacità

Gli studenti devono acquisire capacita' computazionali concrete ed accurate, in modo da fornire risposte esplicite, sia quantitative che qualitative, alle domande poste da problemi assegnati sull'argomento del corso.

Modalità di verifica delle capacità

Sono previsti due compiti scritti in itinere, che verranno r4estituiti corretti, e lo svolgimento del compito sara' commentato nelle lezioni.

Comportamenti

Agli studenti sara' richiesto sia il rigore negli enunciati e nelle dimostrazioni che la capacita' computazionale nella soluzione di un problema specifico.

Modalità di verifica dei comportamenti

Chiamando gli studenti alla lavagna in aula, nei ricevimenti, negli esami. 

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Vengono ampiamente utilizzati argomenti che fanno parte dei programmi
dei corsi del primo biennio, in particolare in Aritmetica, Algebra
Lineare e Geometria Analitica, Fisica I, Analisi matematica I, Analisi
Matematica II, Geometria II.

Corequisiti

Possono essere utili, in quanto si verificano delle sinergie, sia il corso di Meccanica Razionale che quello di Elementi di Meccanica Celeste.

Prerequisiti per studi successivi

Questo corso e' obbligatorio per conseguire la laurea triennale in Matematica

Indicazioni metodologiche

Le lezioni frontali si svolgono sia alla lavagna che con l'ausilio del calcolatore, in particolare sotto forma di programmi che includono una rappresentazione grafica dei risultati. 

Teaching methods

Delivery: face to face

Learning activities:

  • attending lectures
  • individual study
  • Other

Attendance: Advised

Teaching methods:

  • Lectures
  • Task-based learning/problem-based learning/inquiry-based learning
Programma (contenuti dell'insegnamento)

1.Introduzione: Sistemi dinamici continui e discreti,
lineari e nonlineari, conservativi, integrabili: definizioni ed esempi
semplici.

2. Sistemi dinamici lineari: richiami di algebra lineare,
esponenziale di matrici, prodotto di serie, autovalori reali e
complessi, nilpotenti, risonanza.

3. Teoria qualitativa: Richiami sulle soluzioni dei problemi
alle condizioni iniziali. Stabilita', instabilita', sorgenti e
pozzi, esponenti e funzioni di Lyapounov, sistemi Newtoniani
conservativi e con dissipazione, sistemi gradiente, selle, insiemi
limite, orbite periodiche, teorema di Poincare'-Bendixon.

4. Sistemi discreti e discretizzazione: equazioni alle
differenze finite lineari, esempi di applicazioni all'economia
matematica, metodo di Eulero, errore di troncamento e convergenza,
discretizzazione conservativa, metodi di Runge-Kutta, mappa standard.

5. Sistemi Hamiltoniani a un grado di liberta':
teorema di Liouville, integrabilita' e legge oraria, studio
qualitativo, trasformata di Legendre, sistemi Lagrangiani, moti
vincolati, trasformazioni canoniche, variabili azione-angolo.

6. Caos: regioni caotiche per la mappa standard,
teorema delle separatrici, punti omoclinici, insiemi iperbolici, ferro
di cavallo di Smale, regioni ordinate, esponenti di Lyapounov,
definizione di caos.

 

Syllabus

Discrete and continous dynamical systems. Linear dynamical systems and their solutions, resonance. Stability, instability, sinks, Lyapounove exponents and functions, Newtonian systems, conservative and with dissipation. Gradient systems, separatrix, limit sets, Poincare'-Bendixon theory. Hamiltonian systems with one degree of freedom, area preserving flow, integrability and time law, Legendre transform and Lagrange equation, constrained motion, canonical transformations, action-angle variables. Discrete dynamical systems and finte difference equations, examples in economics, discretization with Euler method, with standard map. The standard map of the pendulum: chaotic regions, the separatrices, homoclinic points, hyperbolic sets, Smale's horsehoe, ordered regions, Lyapounov exponents, definitions of chaos.

Bibliografia e materiale didattico

A. Milani, Introduzione ai sistemi dinamici, Seconda edizione
riveduta e corretta, Edizioni Plus, Pisa, 2009; 256 pagine + CD-ROM

Bibliography

A. Milani, Introduzione ai sistemi dinamici, Seconda edizione riveduta e corretta, Edizioni Plus, Pisa, 2009; 256 pagine + CD-ROM

Modalità d'esame

Esame scritto, che puo' essere sostituito da risultati complessivamente positivi dei due compiti in itinere.

Esame orale

Altri riferimenti web

http://adams.dm.unipi.it/~milani/dinsisno/

versione online del libro di testo

Ultimo aggiornamento 20/09/2017 09:31