CdSMATEMATICA
Codice142AA
CFU6
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano
Il corso si propone di presentare alcuni aspetti del problema degli N corpi.
The aim of the course is to present some aspects of the N body problem.
La verifica delle conoscenze sarà svolta tramite un esame orale.
Testing of the knowledge will be done through an oral exam.
Lo studente sara' in grado di trattare le singolarita' del problema degli N corpi, di mostrare l'esistenza di alcune classi di orbite periodiche e di comprandere meglio alcuni fenomeni caotici.
The student will be able to deal with the singularities of the N body problem, to show the existence of certain classes of periodic orbits, and to have a better understanding of some chaotic phenomena.
Durante il corso, saranno mostrati diversi esempi con riferimento ai differenti argomenti trattati.
During the course, several examples will be shown, with reference to the different topics explained.
Lo studente potrà comprendere meglio alcuni aspetti del problema degli N corpi.
The student will be able to understand better some aspects of the N body problem.
Durante le lezioni gli studenti saranno frequentemente coinvolti nella discussione delle argomentazioni e dei metodi utilizzati.
During the lectures the students will be frequently involved in the discussion about the arguments and the methods employed.
Alcuni elementi di Meccanica Celeste.
Some elementary Celestial Mechanics.
Singolarità del problema degli N corpi:
- introduzione al problema degli N corpi,
- integrali primi e riduzione,
- collisioni e pseudo–collisioni, congettura di Painlevé,
- teorema di Von Zeipel.
Soluzioni periodiche del problema degli N corpi:
- soluzioni di Eulero e Lagrange per il problema dei 3 corpi,
- l’orbita periodica a forma di otto di Chenciner-Montgomery,
- esistenza di alcune classi di orbite periodiche con metodi variazionali.
Regolarizzazione delle collisioni:
- regolarizzazioni del problema dei 2 corpi di Levi-Civita, di Kustaanheimo-Stiefel, di Moser, di Sperling-Burdet,
- regolarizzazioni locali e globali del problema dei 3 corpi,
- metodo della variazione dei parametri per trovare set di elementi nonsingolari alternativi agli elementi Kepleriani.
Determinazione orbitale caotica:
- esponenti di Lyapounov e metodi effettivi per stimarli. Relazione tra esponente di Lyapounov e costante di Lipschitz. Caso Hamiltoniano: proprieta' della matrice di transizione di stato. Orizzonte di predicibilita' e limite di computatbilita',
- determinazione orbitale: equazione normale. Cenni allo Shadowing lemma. Determinazione di un parametro dinamico. Risultati nel caso ordinato, nel caso caotico. Soluzioni locali o multiarco. Come oltrepassare il limite di computabilita'.
- Applicazioni: determinazione orbitale in presenza di un grande numero di incontri ravvicinati. Missioni spaziali con tour dei satelliti. Un problema, e la sua soluzione, per il futuro.
Singularities of the N body problem:
- introduction to the N body problem,
- first integrals and reduction,
- collisions and pseudo–collisions, Painlevé's conjecture,
- Von Zeipel's theorem.
Periodic solutions of the N body problem:
- Euler and Lagrange solutions of the 3 body problem,
- the figure eight periodic orbit by Chenciner-Montgomery,
- existence of certain classes of periodic orbits with variational methods.
Regularization of collisions:
- regularization of the 2 body problem by Levi-Civita, Kustaanheimo-Stiefel, Moser, Sperling-Burdet,
- local and global regularization of the 3 body problem,
- variation of parameters to search for non-singular elements alternative to the Keplerian ones.
Chaotic orbit determination:
- Lyapounov exponents and effective methods to estimate them. Relation between Lyapounov exponent and Lipschitz constant. Hamiltonian case: property of the state transition matrix. Predictability and computability horizons.
- Orbit determination: normal equation. Shadowing lemma. Determination of a dynamic parameter. Results in the ordered and in the chaotic case. Local solutions or multi-arc. How to go beyond the computability horizon.
- Applications: orbit determination with a large number of close approaches. Space missions with a tour of satellites. One problem and its solution, for the future.
- C. Siegel and J. Moser: Lectures on Celestial Mechanics, Springer
- V. Szebehely: Theory of orbits, Univ. of Arizona press
- some research papers suggested during the course
- C. Siegel and J. Moser: Lectures on Celestial Mechanics, Springer
- V. Szebehely: Theory of orbits, Univ. of Arizona press
- some research papers suggested during the course
- L'esame è composto da una prova orale.
- La prova orale consiste in un'interrogazione alla lavagna, o su foglio, nella quale lo studente dovra' dimostrare di aver appreso gli argomenti del corso. La prova orale potra' anche essere in forma di seminario, previo accordo con i docenti.
- La prova orale è superata se il candidato avra' dimostrato di aver acquisito sufficiente dimestichezza con gli argomenti e le tecniche oggetto del corso.
- the exam is oral.
- The oral exam will be done at the blackboard or on a sheet of paper: here the student will have to show to know the topics of the course. The oral exam can also consist of a seminar, if this will be agreed with the professor that teach the course.
- The oral exam is passed if the student will show that he has got acquainted with he topics and the techniques of the course.