Scheda programma d'esame
ANALISI MATEMATICA I
ROBERTO FRIGERIO
Anno accademico2018/19
CdSINGEGNERIA AEROSPAZIALE
Codice004AA
CFU12
PeriodoAnnuale

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
ANALISI MATEMATICA IMAT/05LEZIONI120
ROBERTO FRIGERIO unimap
ENRICO SBARRA unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo studente che sosterrà positivamente l'esame dovrà avere maturato solide basi logiche che lo possano sostenere nel ragionamento matematico in generale. Dovrà avere compreso in che cosa consistano un enunciato matematico ed una dimostrazione. Dal punto di vista dei contenuti più specifici, lo studente dovrà avere acquisito le nozioni di limite di successione, di serie, e tutti i temi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in una variabile, nonché alcuni elementi della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Oltre alle modalità di applicazione dei risultati spiegati durante il corso, lo studente dovrà conoscere tutte le dimostrazioni svolte a lezione. 

Knowledge

The student who wish to pass the exam must have developed a solid control of logic and mathematical reasoning, and must have deeply understood what are a mathematical statement and a mathematical proof. The specific contents of the course are the notion of limit (of a sequence or of a series), the fundamental result of differential calculus in one variable, as well as some elements of the theory of ordinary differential equations. The student must be able to discuss all the proofs explained during the lessons. 

Modalità di verifica delle conoscenze

Le conoscenze dello studente saranno verificate tramite un esame scritto e tramite un esame orale, durante i quali i candidati dovranno dimostrare di avere acquisito le conoscenze sopra descritte. L'esame orale sarà in particolare dedicato agli enunciati e alle dimostrazioni svolte in classe. Sono previste due prove in itinere che, se superate, consentono allo studente di accedere alla prova orale senza sostenere appelli scritti.

Assessment criteria of knowledge

Every student must pass both a written and an oral examination. In both of them the student must demonstrate his/her knowledge of the course material. The oral examination will be mainly focused on the proofs explained during the lessons. If passed, two tests in progress may allow the student to be admitted directly at the oral examination.

Capacità

Lo studente dovrà avere sviluppato la capacità di comprendere e di elaborare dimostrazioni di enunciati matematici. Inoltre, dovrà essere in grado di risolvere esercizi sugli argomenti svolti a lezione, applicando in maniera adeguata i teoremi enunciati durante il corso.  Per esempio, dovrà essere in grado di valutare limiti di successioni e serie, di studiare il comportamento qualitativo di una funzione, di risolvere equazioni differenziali. 

Skills

The student must develop the skill of understanding and describing proofs of mathematical statements. Moreover, he or she must be able to solve exercises on the topics of the course. For example, he or she must be able to solve limits and series, to study the qualitative behaviour of functions, and to solve differential equations. 

Modalità di verifica delle capacità

Le capacità dello studente di risolvere esercizi sfruttando i teoremi spiegati durante il corso saranno valutate tramite le prove in itinere e l'esame scritto. Le capacità dello studente di argomentare in maniera matematicamente corretta discutendo le dimostrazioni svolte a lezione saranno valutate durante l'esame orale. 

Assessment criteria of skills

The skills of the student in solving exercises will be assessed via the written examination (and/or the tests in progress). The familiarity of the student with a correct mathematical reasoning and with the proofs explained during the lessons will be evaluated during the oral examination. 

Comportamenti

Lo studente dovrà essere in grado di discutere di matematica sia con i propri compagni sia con il docente in maniera rigorosa ed espressiva.

Behaviors

The student must be able to discuss mathematical topics both with his/her mates and with the teacher using a rigorous mathematical language. 

Modalità di verifica dei comportamenti

Le capacità discutere di matematica in maniera rigorosa ed espressiva  sarà verificata durante l'esame orale.

Assessment criteria of behaviors

During the oral examination, the committee evaluates the ability of the student in discussing mathematical topics with his/her teacher.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Le quattro operazioni elementari, l'elevamento a potenza, l'esponenziale ed il logaritmo. Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado. Primi elementi di trigonometria. 

Prerequisites

The four elementary binary operations. The powers of a real number, exponential and logarithm. First and second degree equations and inequalities. Basic notions of trigonometry. 

Programma (contenuti dell'insegnamento)
  1. Insiemi, funzioni (iniettive, surgettive, bigettive), numeri naturali, interi, razionali. Principio di induzione. Coefficienti binomiali. 
  2. Assioma di continuità. Numeri reali. Massimi, minimi, sup e inf. Definizione di successione, di limite e sua unicità. Criteri per la soluzione di limiti. Il numero di Nepero e. 
  3. Limiti di funzioni. Funzioni continue. Alcuni limiti notevoli. Concetti di O grande e o piccolo. 
  4. Definizione di derivata e differenziale. Regole di derivazione e applicazioni alle funzioni elementari. Teoremi di de l'Hospital. Polinomi di Taylor con resto di Peano. Funzioni trigonometriche iperboliche. 
  5. Serie: definizioni ed esempi. Serie geometriche e armoniche generalizzate. Criteri di convergenza di serie a termini positivi (rapporto, radice, confronto) e a segni alterni (Leibniz). Serie di Taylor e funzioni analitiche.
  6. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi, Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Polinomio di Taylor con resto di Lagrange. Teorema di Weierstrass. Funzioni concave e convesse. Asintoti. 
  7. Integrale di Riemann: definizione ed esistenza per funzioni continue o monotone. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Integrale di funzioni elementari, di funzioni razionali fratte, di funzioni che coinvolgono radici quadrate, di funzioni razionali di esponenziali e funzioni trigonometriche. 
  8. Integrali impropri: definizione, esempi, criteri di calcolo. Relazione tra integrali impropri e serie.
  9. Equazioni differenziali. Equazioni lineari e a variabili separabili. Teorema di Cauchy. Funzioni integrali.
  10. Esponenziale complesso ed equazioni trigonometriche nei complessi. 
Syllabus
  1. Sets and functions. Natural, integral and rational numbers. Induction. Binomial coefficients.
  2. The continuity axiom. The real numbers. Max, min, sup, inf. Sequences and their limits. Uniqueness of the limit. Criteria for computing limits. The Neper constant e.
  3. Limits of functions. Continuous functions. Some notable limits. The notion of O and o.
  4. Derivative and differential. Derivation rules with application to elementary functions. De l'Hospital Theorems. Taylor polynomial with Peano remainder. Hyperbolic trigonometric functions.
  5. Series. Geometric and harmonic series. Convergence criteria for series. Taylor series. Analytic functions
  6. Existence of zeroes and of intermediate values for continuous functions. Weierstrass Theorem. Rolle Theorem, Lagrange Theorem, Cauchy Theorem. Taylor polynomial with Lagrange remainder. Concave and convex functions. Asymptotes.
  7. The Riemann integral: definition and existence for continuous and for monotone functions. The mean value theorem. The fundamental theorem of calculus. Integration of elementary functions, of rational functions, of functions with sqare roots, of rational functions involving exponentials and trigonometric functions.
  8. Improper integrals: definitions, convergence criteria and comparison with series.
  9. Ordinary differential equations. Linear equations. Equation with separable variables. The Cauchy problem. Integral functions.
  10. Complex exponential and trigonometric equations on the field of complex numbers.
Bibliografia e materiale didattico

Non viene seguito un unico testo. In ogni caso, un qualsiasi libro di testo di Analisi I può essere utile per la preparazione dell'esame. Tra i possibili testi segnaliamo ad esempio "Analisi Matematica 1" di Bramanti, Pagani e Salsa (i contenuti relativi alle equazioni differenziali si trovano nel secondo volume "Analisi Matematica 2" a cura degli stessi autori). Si raccomanda la lettura anche delle dispense del prof. Massimo Gobbino, che sono disponibili online. Tra le raccolte di esercizi, segnaliamo "Esercizi di analisi matematica 1" di Buttazzo, Gambini e Santi, "Esercizi e problemi di Analisi Matematica - I volume" di Cecconi Piccinini e Stampacchia, e, con un respiro un po' più teorico ma anche con un gran numero di esercizi concreti, l'eserciziario di Giusti "Esercizi e complementi di Analisi Matematica 1".

Bibliography

Recommended reading includes a textbook of Analysis I. The notes by prof. Massimo Gobbino, which are available online, are also recommended. Exercises may be found e.g. in the following books: "Esercizi di analisi matematica 1" by Buttazzo, Gambini and Santi, "Esercizi e problemi di Analisi Matematica - I volume" by Cecconi, Piccinini and Stampacchia,  "Esercizi e complementi di Analisi Matematica 1" by Giusti.

Modalità d'esame

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. Nella prova scritta sono presenti esercizi, durante la prova orale verranno discussi enunciati e dimostrazioni presentati durante il corso. Sono esentati dalla prova scritta gli studenti che abbiano superato le prove in itinere. Una descrizione molto dettagliata delle regole d'esame si può trovare qui:


http://people.dm.unipi.it/sbarra/pdfs/Didattica/2018-an/regoleesame-20181009.pdf

 

Assessment methods

The exam consists of a written and an oral examination. In the written examination the student must solve exercises, while during the oral examination the student must discuss some statements and proofs explained during the course. Two tests in progress are planned. If passed, the tests in progress may allow the student to be admitted directly to the oral examination. A very detailed account on the rules on exams may be found here:

http://people.dm.unipi.it/sbarra/

Pagina web del corso

http://people.dm.unipi.it/sbarra/

Ultimo aggiornamento 09/10/2018 23:30