Scheda programma d'esame
TEORIA DEI NODI
CARLO PETRONIO
Anno accademico2018/19
CdSMATEMATICA
Codice214AA
CFU6
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
TEORIA DEI NODIMAT/03LEZIONI42
ROBERTO FRIGERIO unimap
CARLO PETRONIO unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo studente che completa il corso conoscerà i risultati classici sui nodi e una selezione di quelli moderni sia nella direzione geometrica sia in quella degli invarianti quantistici.

Knowledge

Students completing this course will know the classical results on knots and links and a selection of the modern ones, in both the geometric and the quantum invariants direction.

Modalità di verifica delle conoscenze

Gli studenti sono chiamati a sostenere un esame orale nel quale dimostrano di avere compreso le nozioni impartite nel corso oppure di avere saputo leggere autonomamente e presentare efficacemente un articolo di teoria dei nodi.

Assessment criteria of knowledge

The students will have to take an oral exam in which they will show their understanding of the matter covered in the lectures, or they will effectively expose a paper on knot theory after having autonomously read it.

Capacità

Dominare le nozioni di base e alcune nozioni avanzate di teoria dei nodi.

Skills

Master the basic notions of knot theory and a selection of advanced ones

Modalità di verifica delle capacità

Esame orale.

Assessment criteria of skills

Oral exam.

Comportamenti

Capacità di disegnare nodi, verificarne proprietà, calcolarne invarianti.

Behaviors

Ability to draw knots, check their properties, compute their invariants.

Modalità di verifica dei comportamenti

Esame orale.

Assessment criteria of behaviors

Oral exam.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Elementi di topologia algebrica (gruppo fondamentale e rivestimenti, omologia). Classificazione delle superfici.  Algebra dei polinomi.

Prerequisites

Elements of algebraic topology (fundamental group, coverings, homology). Classification of surfaces.  Algebra of polynomials.

Corequisiti

Nessuno.

Co-requisites

None.

Prerequisiti per studi successivi

Nessuno.

Prerequisites for further study

None.

Indicazioni metodologiche

Lezioni frontali con registrazione audio/lavagna.

Teaching methods

Face-to-face lectures with recording of audio and blackboard.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Nodi e link PL e lisci. Nodi selvaggi. Mosse di Reidemeister.  Nodi orientati e invertibili.  Nodi chirali.  
3-colorazioni.  Nodi torici.  Linking number.  Nodi con riferimento e riferimento  privilegiato.  Link pretzel e razionali.  Unknotting number, crossing number.  Diagrammi alternanti.  Teorema di Tietze, presentazione di Wirtinger.  n-colorazioni. Somma connessa di link, nodi satellite.  Sfere e tori nella 3-sfera. Genere di un nodo. Decomposizione in primi. Bracket e polinomio di Kauffman.  Polinomio di Jones. Applicazioni ai nodi alternanti. Quandle fondamentale e invarianti associati.  

A discrezione dei docenti, verranno poi sviluppati alcuni argomenti tra i seguenti:

Bridge number. Nodi slice e ribbon. Superfici di Seifert: definizione ed esistenza. La forma di Seifert. Il rivestimento universale abeliano del complementare di un link. Boundary links e homology boundary links. Cut number di 3-varietà. Presentazioni di moduli su anelli con identità. Ideali di Alexander di moduli finitamente presentati. Polinomi ed ideali di Alexander di nodi e link. Definizione di anello gruppo e calcolo di Fox. Applicazioni del calcolo di Fox ai polinomi di Alexander. Gruppo delle trecce, teoremi di Alexander e Markov. Algebre di Conway. I polinomi HOMFLY-PT e Alexander-Conway. Teorema di Dehn-Lickorish.  Chirurgia razionale e intera. Teorema di Lickorish-Wallace.  Riverstimenti ramificati.  Teorema di Hilden-Montesinos.

Syllabus

PL and smooth knots and links.  Wild knots. Reidemeister moves.  3-colorings.  Oriented and invertible knots.
Chiral knots.  Toric knots.  Linking number.  Framed knots and preferred framing.  Pretzel and rational knots.  Unknotting number, crossing number.  Alternating diagrams. Tietze theorem, Wirtinger presentation.  n-colorings.  Connected sum of links, satellite links. Spheres and tori in the 3-sphere.  Genus of a knot. Prime decomposition.
Kauffman bracket and polynomial.  Jones polynomial. Applications to alternating knots. The fundamental quandle and associated invariants. 

The course will cover also some other topics among the following ones:

Bridge number. Slice and ribbon knots. Seifert surfaces: definition and existence. The Seifert form.  The universal abelian covering of a link complement. Boundary links. Homology boundary links. The cut number of a 3-manifold. Presentations of modules over a ring with unity. Alexander ideals and Alexander polynomials of finitely presented modules. Group rings. Fox calculus. Applications of the Fox calculus to Alexander polynomials. Braid groups. Alexander Theorem and Markov Theorem. Conway algebras.  HOMFLY-PT and Alexander-Conway polynomials. Dehn-Lickorish theorem.  Rational and integer surgery. Lickorish-Wallace theorem.  Branched covers.  Hilden-Montesinos theorem.  

Bibliografia e materiale didattico

Birman – Braids, links and mapping class groups 

Burde-Zieschang-Heusener - Knots

Lickorish – An introduction to knot theory

Rolfsen – Knots and links

Sossinsky-Prasolov – Knots, links, braids and 3-manifolds

P. Cromwell, Knots and links.

J. Stillwell, Classical Topology and Combinatorial Group Theory.

Bibliography

Birman – Braids, links and mapping class groups

Burde-Zieschang-Heusener - Knots

Lickorish – An introduction to knot theory

Rolfsen – Knots and links

Sossinsky-Prasolov – Knots, links, braids and 3-manifolds

P. Cromwell, Knots and links.

J. Stillwell, Classical Topology and Combinatorial Group Theory.

Indicazioni per non frequentanti

http://people.dm.unipi.it/petronio/files/dida1819/TeoNodi1819.html

Non-attending students info

http://people.dm.unipi.it/petronio/files/dida1819/TeoNodi1819.html

Modalità d'esame

Orale tradizionale o a seminario.

Assessment methods

Traditional or seminal oral exam.

Stage e tirocini

Nessuno.

Work placement

None.

Ultimo aggiornamento 14/05/2019 18:18