Scheda programma d'esame
ULTRAFILTRI E METODI NONSTANDARD
MAURO DI NASSO
Anno accademico2018/19
CdSMATEMATICA
Codice230AA
CFU6
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
ULTRAFILTRI E METODI NONSTANDARD/aMAT/01LEZIONI42
MAURO DI NASSO unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo studente che completerà con successo il corso conoscerà i risultati fondamentali della teoria infinita di Ramsey e una selezione rappresentativa dei risultati piu' rilevanti nell'ambito della combinatoria dei numeri che studia proprieta' che dipendono dalla densita'. Inoltre, conoscerà le nozioni di base dell'algebra sugli ultrafiltri e dell'analisi non standard, e sarà in grado di applicarle in combinatoria.

Knowledge

The student who successfully completes the course will be aquainted with the fundamental results of infinite Ramsey Theory and with a representative selection of relevant results of density-dependend results in additive combinatorics. Moreover, he/she will be acquainted with the basics of algebra on ultrafilters and with nonstandard analysis, and he/she will be able to apply them in combinatorics.

Modalità di verifica delle conoscenze

Per l'accertamento delle conoscenze, durante il corso saranno assegnati esercizi. Gli studenti invieranno le soluzioni per email al docente. Alcuni esercizi particolarmente rilevanti, saranno discussi a lezione con la partecipazione degli studenti.

Assessment criteria of knowledge

The student will be assessed on his/her knowledge by means of exercises that will be assigned during the course. Students will send solutions by email to the teacher. Some particularly relevant exercises will be discussed in class with the participation of the students.

Capacità

Al termine del corso:

  • lo studente saprà utilizzare l'algebra dello spazio degli ultrafiltri su N per affrontare problemi di teoria di Ramsey dei numeri.
  • lo studente sarà in grado di applicare i metodi fondamentali dell'analisi nonstandard nella struttura discreta degli interi.

 

Skills

By the end of the course:

  • Students will know how to use the algebraic structure of the space of ultrafilters on N to attack problems in Ramsey theory of numbers.
  • Students will be able to apply the fundamental methods of nonstandard analysis in the discrete context of the integers.
Modalità di verifica delle capacità

Modalita':

  • Soluzione di problemi assegnati durante il corso.
Assessment criteria of skills

Solutions of problems assigned during the course.

 

Comportamenti

Al termine del corso:

  • lo studente saprà utilizzare l'algebra dello spazio degli ultrafiltri su N per affrontare problemi di teoria di Ramsey dei numeri.
  • lo studente sarà in grado di applicare i metodi fondamentali dell'analisi nonstandard nella struttura discreta degli interi.

 

Behaviors

By the end of the course:

  • Students will know how to use the algebraic structure of the space of ultrafilters on N to attack problems in Ramsey theory of numbers.
  • Students will be able to apply the fundamental methods of nonstandard analysis in the discrete context of the integers.
Modalità di verifica dei comportamenti

Modalita':

  • Soluzione di problemi assegnati durante il corso.
Assessment criteria of behaviors

Solutions of problems assigned during the course.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Nessun particolare pre-requisito, oltre alle nozioni generali di base fornite dal primo biennio del corso di studi in Matematica.

Prerequisites

No specific pre-requisites. All notions will be introduced from scratch.

Corequisiti

Nessun particolare corequisito.

Co-requisites

No co-requisities.

Prerequisiti per studi successivi

Questo insegnamento non costituisce un requisito per corsi successivi.

Prerequisites for further study

No prerequisited for further study.

Indicazioni metodologiche

Lezioni frontali, seminari degli studenti.

Teaching methods

Delivery: face to face

Learning activities:

  • attending lectures
  • individual study
  • Bibliography search

Attendance: Strongly advised

Teaching methods:

  • Lectures
Programma (contenuti dell'insegnamento)

Ultrafiltri e algebra nello spazio degli ultrafiltri. Teorema di Ramsey, Teorema di Hindman, Teorema di van der Waerden e loro conseguenze. Teorema di Rado. Metodi nonstandard: i numeri iperreali e ipernaturali. Teorema di Jin. Selezione di argomenti di dinamica topologica discreta in combinatoria e di teoria infinita di Ramsey.

Syllabus

Ultrafilters and algebra on ultrafilters. Ramsey Theorem, Hindman's Theorem, van der Waerden's Theorem and their consequences. Rado's Theorem. Nonstandard methods: the hyperreal and the hypernatural numbers. Jin's Theorem and other density dependent results in additive combinatorics. Jin's Theorem. Other topics from discrete topological dynamics in combinatorics, and in infinite Ramsey Theory.

Bibliografia e materiale didattico

Hindman-Strauss, Algebra in the Stone-Cech compactification

Mac Cutcheon, Elemental Methods in Ergodic Ramsey Theory

Di Nasso-Goldblatt-Lupini, Nonstandard methods in Ramsey Theory and Combinatorial Number Theory

Bibliography

Hindman-Strauss, Algebra in the Stone-Cech compactification

Mac Cutcheon, Elemental Methods in Ergodic Ramsey Theory

Di Nasso-Goldblatt-Lupini, Nonstandard methods in Ramsey Theory and Combinatorial Number Theory

Modalità d'esame

Modalita':

  • Soluzione di problemi assegnati durante il corso.
  • Seminario finale 
  • Esame orale finale
Assessment methods

Solution of problems assigned during the course. Final seminar. Final oral exam.

 

 

Ultimo aggiornamento 05/10/2018 00:31