Scheda programma d'esame
CALCOLO DELLE VARIAZIONI A
GIOVANNI ALBERTI
Anno accademico2018/19
CdSMATEMATICA
Codice096AA
CFU6
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
CALCOLO DELLE VARIAZIONI A/aMAT/05LEZIONI42
GIOVANNI ALBERTI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Alla fine del corso lo studente dfovrebbe averre una buona connoscenza delle basi del calcolo delle variazioni moderno (in particolare il metodo diretto e la regolarità di base dei minimi) e di alcune delle applicazioni.

Knowledge

At the end of this course the student should know the foundations of modern Calculus of Variations (including existence results via the direct method, basic regularity) and some of its applications.

Modalità di verifica delle conoscenze

Esame orale.

Assessment criteria of knowledge

Final oral examination.

Capacità

Alla fine del corso uno studente dovrebbe essere in grado di capire almeno l'introduzione di una pubblicazione di ricerca in quest'ambito. Dovrebbe anche essere in grado di completare una dimostrazione a partire dalla traccia, aggiungendo i dettagli omessi a lezione.

Skills

At the end of the course students should be able to understand at least the introduction of a research publication on the subject. He should also be able to complete a proof starting from a sketch, and fill-in the technical details omitted in the lectures.

Modalità di verifica delle capacità

Prova orale.

Assessment criteria of skills

Oral examination.

Comportamenti

Cercare di capire lo spirito delle dimostrazioni più avanzate e le motivazioni della ricerca attuale.

Behaviors

Understanding the idea behind more advanced proofs, and the motivations of recent research trends.

Modalità di verifica dei comportamenti

Esame orale.

Assessment criteria of behaviors

Oral examination.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

I corsi di base di analisi e geometria previsti nella laurea triennale. Fondamenti di analisi funzionale e teoria delle funzioni, inclusa la teoria di base degli spazi di Sobolev.

Prerequisites

The standard analysis and geometry courses required for the first degree in Mathematics in Pisa. An advanced course on the foundations of functional and real analysis, including the basic theory of Sobolev spaces.

Indicazioni metodologiche

Lezioni frontali.

Teaching methods

Frontal lectures.

Programma (contenuti dell'insegnamento)
  • Nozioni di base: equazione di Eulero-Lagrange e sue varianti.
  • Il metodo diretto per i risultati di esistenza.
  • Risultati di semicontinuità per funzioni integrali (sia nel caso scalare che vettoriale); il ruolo di convessità, quasiconvessità, policonvessità e convessità di rango uno.
  • Regolarità di base per i minimi e le soluzioni dell'equazione di Euler-Lagrange in forma debole.
  • Approccio parametrico alle superifici minime (alla Douglas and Rado).
  • Gamma-convergenza: proprietà elementari ed esempi significativi.
Syllabus
  • Basic notions: Euler-Lagrange equations.
  • The direct method for existence results.
  • Semicontinuity results for integral functionals (both in the scalar and in the vectorial case); the role of convexity, quasiconvexity, polyconvexity and rank-one convexity.
  • Basic regularity of minimizers and solutions of the Euler-Lagrange equation in weak form.
  • The parametric approach to minimal surfaces (a la Douglas and Rado).
  • Gamma-convergence: basic propertiers and relevant examples.
Bibliografia e materiale didattico
  • F. Clarke: Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Graduate Texts in Mathematics, 264. Springer-Verlag, London, 2013.
  • B. Dacorogna: Introduction to the calculus of variations. Imperial College Press, London, 2004.
  • B. Dacorogna: Direct methods in the calculus of variations, second edition. Applied Mathematical Sciences, 78. Springer Science+Business Media, New York, 2008.
  • Jürgen Jost, X. Li-Jost: Calculus of variations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 64. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
Bibliography
  • F. Clarke: Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Graduate Texts in Mathematics, 264. Springer-Verlag, London, 2013.
  • B. Dacorogna: Introduction to the calculus of variations. Imperial College Press, London, 2004.
  • B. Dacorogna: Direct methods in the calculus of variations, second edition. Applied Mathematical Sciences, 78. Springer Science+Business Media, New York, 2008.
  • Jürgen Jost, X. Li-Jost: Calculus of variations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 64. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
Modalità d'esame

L'esame finale consiste di due parti: un seminario su un argomento proposto dal docente ed un orale standard sugli argomenti del corso.

Assessment methods

The final exam consists of two parts: a seminar prepared by the student on a topic proposed by the teacher, and a standard oral examintation.

Ultimo aggiornamento 05/10/2018 01:19