Scheda programma d'esame
TEORIA ALGEBRICA DEI NUMERI 2
ROBERTO DVORNICICH
Anno accademico2018/19
CdSMATEMATICA
Codice202AA
CFU6
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
TEORIA ALGEBRICA DEI NUMERI 2/aMAT/02LEZIONI42
ROBERTO DVORNICICH unimap
Programma non disponibile nella lingua selezionata
Obiettivi di apprendimento
Conoscenze

Teoria Algebrica dei Numeri 1

Modalità di verifica delle conoscenze

Esame orale

Capacità

Si richiede di applicare le basi teoriche ad esemp specifici.

Modalità di verifica delle capacità

Svolgimento di esempi specifici nella prova orale.

Comportamenti

Si consiglia di frequentare le lezioni.

Modalità di verifica dei comportamenti

Nessuna.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Valori assoluti in un campo: dipendenza fra valori assoluti e
topologia indotta. Teorema di Ostrowski.

I numeri $p$-adici: definizione, struttura additiva e struttura
moltiplicativa. Completamento di un campo di numeri rispetto ai suoi
valori assoluti. Estensioni di valori assoluti ad estensioni
algebriche. Gradi locali, norma e traccia locali. Teorema di
approssimazione simultanea. Lemma di Krasner.

Estensioni di campi $p$-adici: classificazione delle estensioni
non ramificate e delle estensioni debolmente ramificate e loro sottogruppi
normici.

Dualit\`a di moduli rispetto alla traccia. Il differente di
un'estensione. Estensioni monogeniche, moltiplicativit\`a del
differente nelle torri di estensioni, propriet\`a locali del
differente. Dicriminante di un'estensione. Relazioni fra differente,
discriminante e ramificazione. Relazioni fra la fattorizzazione dei
primi nelle estensioni dei campi di numeri e la fattorizzazione di
polinomi sui campi locali.

$S$-interi, $S$-unit\`a e teorema di struttura delle $S$-unit\`a.

Estensioni di Galois. Gruppi di decomposizione e gruppi di Galois
locali. Conseguenze del teorema di Cebotarev. Gruppi di Galois delle
estensioni locali debolmente ramificate. Gruppi di ramificazione:
struttura della catena dei gruppi di ramificazione, risolubilit\`a
delle estensioni locali finite, salti nei gruppi di ramificazione.

Corrispondenza fra estensioni abeliane finite di campi $p$-adici e
sottogruppi normici. Teorema di Kronecker-Weber locale e globale.

Bibliografia e materiale didattico

Testi consigliati

{\sc S. Lang}, Algebraic Number Theory, 2nd Edition, Springer Verlag
1994.

{\sc J.W.S. Cassels} and {\sc A. Fr\"ohlich} (eds.), Algebraic Number
Theory, Academic Press 1967.

{\sc J-P. Serre}, Local fields, Springer Verlag 1979.

{\sc J. Neukirch}, Class field theory, Springer Verlag 1986.

{\sc A. Fr\"ohlich} and {\sc M.J.Taylor}, Algenraic number thoery, Cambridge University Press 1991.

Modalità d'esame

esame orale

Ultimo aggiornamento 18/07/2018 17:36